抽象代數學習筆記（8）迴圈群

抽象代數學習筆記（8）迴圈群

在講子群的時候，我們提出了生成子群的概念 \(\)，特別的，如果 \(s=\，有=\)。根據這些，我們可以引出迴圈群的概念：

群\(g\)稱為迴圈群，如果有 \(g\in g\)使得\(g=\)。

\[g=\begin cos 120 & sin 120 \\ -sin 120 & cos 120 \end\quad

\]這樣 \(g,g^2,g^3\)在矩陣乘法下構成群。

上面舉的例子是乙個有限群，應該不難發現，這種迴圈群的特點是，生成元素與通過冪運算（在乘法群）得到的元素可以構成群。

上面的例子還有個特點，\(g^4=g,g^3=e\)。這是不少迴圈群的：

在迴圈群 \(g=\) 中，如果有不同的整數 \(r,k\)使得\(g^r=g^k\)，則存在整數\(m\)使得：

現在，根據是否存在不同的整數 \(r,k\) 使得\(g^r=g^k\)，我們可以將迴圈群分為兩類。而這兩類迴圈群在結構上也具有各自的性質：

若存在不同的整數 \(r,k\) 使得\(g^r=g^k\)，那麼 \(=\\}\)，對任意的 \(1\le i。

若對任意不同的整數 \(r,k\) 使得\(g^r\neq g^k\)，那麼 \(=\,g^,e,g,g^2,...\}\)

比如整數在加法下構成的群，就有第二條性質陳述中的那種結構，而整數加法群可以寫成 \(<1>\)，類似的例子還有很多，這兒就不一一舉出了。

下篇博文的主題是階數，它與有限迴圈群有些關係，大家可以考慮一下第一種迴圈群中 \(g^m=e\)這條性質。

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