【參考資料】
近世代數基礎
丘維聲 抽象代數
代數系統
所謂代數系統理解為乙個集合以及定義在集合之上的乙個二元元算
同態對映
乙個a
aa到a
ˉ\bar
aˉ的對映ϕ
\phi
ϕ,其中o
oo和o
ˉ\bar
oˉ分別是定義在其上的運算，若存在:
只要a →a
ˉ,b→
bˉa \to \bar, \quad b \to \bar
a→aˉ,b
→bˉ就有aob
→aˉo
ˉbˉa o b \to \bar \bar \bar
aob→aˉ
oˉbˉ
同構對映
乙個a
aa到a
ˉ\bar
aˉ的一一對映 （與同態不同）ϕ
\phi
ϕ,其中o
oo和o
ˉ\bar
oˉ分別是定義在其上的運算，若存在:
只要a →a
ˉ,b→
bˉa \to \bar, \quad b \to \bar
a→aˉ,b
→bˉ 就有aob
→aˉo
ˉbˉa o b \to \bar \bar \bar
aob→aˉ
oˉbˉ
如果這個對映是a到a自身的，則稱為 ++自同構++
群群定義為乙個非空集合g，在g上定義乙個乘法元算，記為 =e
a⋅a−1=
e子群如果存在乙個非空集合h屬於集合g，並且h對g上的運算仍然滿足群的要求，那麼我們稱h是g的乙個子群。
定理:乙個群g的非空子集h作為g的乙個子群的充要條件是: a,b
∈h→a
b−1∈
ha, b \in h \to ab^ \in h
a,b∈h→
ab−1
∈h笛卡兒積
a ×b
=a \times b = \left\
a×b=
例如：a=, b=，a與b的笛卡爾積為
關係例如a>b，大於號本身就是乙個關係，在數學上我們定義乙個集合內存在乙個關係，表示為這個集合與自己的笛卡爾積下的乙個子集。
r ⊆s
×sr \subseteq s \times s
r⊆s×s
等價關係
同時可以定義乙個等價關係，當這個關係滿足如下幾個條件：
反身性：即自己與自己有關係，例如1=1
對稱性：a=b等價於b=a，例如1=2等價於2=1
傳遞性：a=b、b=c可以得到a=c
當我們存在乙個等價關係後，那麼這個集合內與元素x等價的元素集為這個元素x的等價類。
舉例：同餘關係，如關於整數5同餘，那麼餘數只能是1,2,3,4。
如果我們在自然數集合n上定義乙個同餘關係，那麼所有的自然數被分為4類，分別對應餘數為1,2,3,4。當然前提是我們能證明同餘關係是乙個等價關係。每乙個等價關係對應乙個分類 商集
商集是集合和其上等價類所匯出的集合，注意：上述關係、等價關係、商集還不屬於抽象代數的範疇，屬於集合論的基礎。
其實可以這樣理解，所謂的除法就是把乙個數字分成大小相等的幾等份，和切西瓜是一樣的。那麼集合如何除等價於如何判定子集合的「相等性」，而這個相等性就是等價關係。
定義：集合b為集合a關於等價關係 ∼
\sim
∼的商集合，記為：b=a
/∼b=a/\sim
b=a/∼
舉例：根據上面這個例子，自然數下關於mod5同餘的等價類形成了商集合：
b = ,,,,}
陪集陪集是有子群派生出來的，左、右陪集數學上定義如下：
g h=
gh = \left\
gh=hg=
hg = \left\
hg=其中g是g中的乙個元素（我們這裡稱為特徵元），h是g的子群。
備註：需要注意的是乙個陪集實際上定義了乙個等價關係,也就是說a等價於b這個命題等同於a和b屬於某個子群
右陪集的等價關係: a∼b
==>ab
−1∈h
a \sim b ==> ab^ \in h
a∼b=
=>ab
−1∈h
左陪集的等價關係: a∼′
備註: 這裡的s
3s^3
s3表示為3階置換群，其中(123)的表示方法是 1 --> 2 --> 3 --> 1，(1,2)表示1–>2–>1。h(1)表示用元素1乘上子群h，即產生(1)(1)和(12)(1)。
上面例子中子群h把g分成三個右陪集，它們是g的乙個分類；也分成三個左陪集，同樣也是g的乙個分類。
朗格朗日定理
定義：對於有限群g，h是它的子群，那麼h的階整除g的階
根據陪集是乙個等價類的推斷，得到：
g =∪
i=1k
aihg=\cup_^ka_ih
g=∪i=1
kai
h有限群g被分解為若干元素關於h的陪集的並。且它們彼此之間無交集。
正規子群
對於任何元素g∈g
g \in g
g∈g 總是存在相同的左右陪集gh = hg。則稱h是g的正規子群。
舉例：明顯可知若g是交換群，那麼所有的子群h都是正規子群
商群由於陪集本身是乙個等價類，所以陪集相當於也構建了乙個商集（++注意此處是商集不是商群++），如果我們希望構造出來的商集也是乙個群的話，那麼就需要構築陪集的子群h同時是乙個正規子群。
數學上定義：對於群g和它的乙個正規子群n，構築g在n上的商群，記為g/n
抽象代數學習筆記（6）群與子群
前面的幾篇文章介紹了抽象代數的基礎，現在可以接觸一種基本的代數結構 群。之前說過，代數結構就是在乙個集合上定義乙個運算。群也是如此，只是，群需要滿足一些要求。乙個集合 g 以及定義在這個集合上的運算 滿足下列條件 運算 滿足結合律 運算 有乙個單位元e 集合 g 中的每乙個元素在運算 有逆元，即 g...
顧沛《抽象代數》1 3 子群與商群 習題解答
習題 4.證明指數為 2 的子群必正規.證明 設 g 為群且 h g h cup ah,a notin h 同樣的一定有右陪集分解 g h cup ha 顯然 ah ha 由等價類的代表元之任意性便知 h lhd g 5.設 g 是群,h lhd g,k lhd g 且 h cap k 證明 hk ...
抽象代數 類方程和有限群
隨著前面我們對於群的結構的探索，在對群進行公理化描述之後，我們又 了群的結構，正規 子群，商群還有直積的概念。如果我們要在進一步，就需要專注於群最為本質的特點，即對稱與變換，這是群的精髓所在，下面就讓我們開始從類方程與群對於集合的作用開始吧。設 x 是任意乙個非空集合，我們已經知道，集合 x 的全體...