習題：
4.證明指數為$2$的子群必正規.
證明 設$g$為群且$h$$g=h\cup ah,a\notin h$$
同樣的一定有右陪集分解
$$g=h\cup ha$$
顯然$ah=ha$.由等價類的代表元之任意性便知$h\lhd g$.
5.設$g$是群,$h\lhd g,k\lhd g$且$h\cap k=\$,證明
$$hk=kh,\forall h\in h,k\in k$$
證明 又正規子群可知
\beginhk&=k_h=kh_\\\rightarrow k^k_&=h_h^\in h\cap k\end
易得$k_=k,h_=h$,即$hk=kh$.
6.證明任一群都不能表示成其兩個真子群之並.
證明 設群$g=a\cup b$,其中$a,b$均為$g$的真子群.從而存在$g\in a,g\notin b$以及$h\notin a,h\in b$,那麼我們考慮$gh$.顯然$gh$既不在$a$中,也不在$b$中,從而$gh\notin g$,與$g$是群矛盾!
8.若群$g$只有乙個階為$n$的子群$h$,那麼$h\lhd g$.
證明 $\forall g\in g$,考察$g^hg$,不難驗證其仍構成群,且
$$\left|g^hg\right|=|h|$$
由$h$的唯一性便知$g^hg=h$,從而$h$正規.
補充題：
1.設$h$是整數**$\mathbb z$的子群,證明必有$m\in\mathbb z$使得$h=m\mathbb z$ .
證明 由於$\mathbb z=<1>$為迴圈群,從而其任一子群$h$也必為迴圈群,因此存在$m\in\mathbb z$使得
$$h==m\mathbb z$$
由於迴圈群是後面的內容，此處也可用另一方法：若$h=\$,那麼結論顯然；若$h\neq\$,則考慮集合
$$s=\$$
根據最下自然數原理可知集合$s$有最小值$m$,我們說$h=m\mathbb z$,否則必然存在某個$n\in h$且$n>m>0$,但是$m\nmid n$,那麼做帶餘除法
$$n=mq+r,0由於$h$是群,那麼$r\in h$,與$m$的極小性矛盾!
2.設$h,k$為群$g$的兩個有限子群,證明
$$|hk|=\frac.$$
證明 注意到$(h\cap k)\beginh&=\bigcup_^h_(h\cap k)\\&=\bigcup_^\left(h\cap h_k\right)\tag\\&=h\bigcap\left(\bigcup_^h_k\right)\end
其中(1)式子用到了如下事實:
$$g(h\cap k)=gh\cap gk,g\in g.$$
從而可知$h\subset\bigcup_^h_k$,進一步的
$$hk\subset\bigcup_^h_k$$
另一方面每個$h_k\subset hk$,從而
$$\bigcup_^h_k\subset hk$$
因此$hk=\bigcup_^h_k$,兩邊求階數便得
$$|hk|=n|k|=\frac$$
5.設$a,b$是群$g$的兩個子群,證明:
(1)$ab< g$等價於$ab=ba$;
(2)$a,b$中若有乙個是正規的,那麼$ab(3)若$a,b$均正規,那麼$ab\lhd g$.
證明 (1)必要性：若$ab$$ab=(ab)^=b^a^=ba$$
充分性：設$ab=ba$,那麼對任意的$a_b_,a_b_\in ab$有
\begina_b_b_^a_^&=a_b_a_b_\\&=a_a_b_b_\\&=a_b_\in ab\\\rightarrow ab&(2)不是一般性,設$a\lhd g$.同樣的考慮
\begina_b_b_^a_^&=a_b_a_b_^\\&=a_a_b_b_^\in ab\\\rightarrow ab&(3)由(2)知$ab\begingabg^&=gag^gbg^=ab\end
從而$ab\lhd g.$
抽象代數筆記 群 子群 商群
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