我們知道，整數環中的每乙個合數都可以唯一地分解成素數的乘積； 域 f 上每個次數大於零的可約多項式，都可以唯一地分解成不可約多項式的乘積。這是整數環和多項式環中元素的最基本最重要的性質之一。下面我們將把整數環和多項式環的一些性質推廣到更一般通用的環上去。
環的直和分解將大環分解為小環，使得結構更加簡單。從整數的算術基本定理得到啟發，我們還可以從乘法分解的角度來研究環。要使這個定向研究得到有用的結論，還需對環作一些限制。既然我們關注是因子，乘法順序就顯得多餘且礙事，所以要求環是可交換的。另外零因子的討論也是沒有意義的，故規定所有非零元素都是正則元。故我們只需討論整環中元素的乘法分解，為簡化描述，以下將忽略對零元素的討論。
和初等數論中一樣，若 a = b c a=bc
a
抽象代數 環論與域論
群是有乙個代數運算的代數系統，但我們在數學中，如高等代數中討論的很多物件比如 數 多項式 函式以及矩陣和線性變換等，都是有兩個代數運算的代數系統，兩個代數運算的代數系統不僅有非常重要的現實意義，而且相比於乙個代數運算的系統會有一些有趣的性質。而在具有兩個代數運算的系統中環和域便是很好的代表。具有兩個...
抽象代數筆記 環 域 擴域 伽羅瓦理論
參考資料 近世代數基礎 從一元一次方程到伽羅瓦理論 伽羅瓦預解式 18918113 環 存在乙個集合k，同時有加法 和乘法 cdot 1 k,k,k,構成交換群 2 k,k,cdot k,構成半群 3 如果同時考慮 k,k,cdots k,滿足左右分配率 我們稱這個代數結構為環。如果 k,k,cdo...
抽象代數學習筆記（6）群與子群
前面的幾篇文章介紹了抽象代數的基礎，現在可以接觸一種基本的代數結構 群。之前說過，代數結構就是在乙個集合上定義乙個運算。群也是如此，只是，群需要滿足一些要求。乙個集合 g 以及定義在這個集合上的運算 滿足下列條件 運算 滿足結合律 運算 有乙個單位元e 集合 g 中的每乙個元素在運算 有逆元，即 g...