隨著前面我們對於群的結構的探索，在對群進行公理化描述之後，我們又**了群的結構，(正規) 子群，商群還有直積的概念。如果我們要在進一步，就需要專注於群最為本質的特點，即對稱與變換，這是群的精髓所在，下面就讓我們開始從類方程與群對於集合的作用開始吧。
設 x 是任意乙個非空集合，我們已經知道，集合 x 的全體到自身的一一對應組成乙個群 s(x), 稱其為對稱群或變換群，從歷史的角度看，人們最早研究的都是某一集合上的變換群。直到現在，各種型別的變換群的研究仍是群論的乙個重要部分。抽象群的概念正是從變換群而來。在群論中，一方面是把抽象群論中的結果應用到變換群上。另一方面也常利用變換群來研究抽象群的性質。前面提到的凱萊定理就是建立在這二者的聯絡。而群在集合上的作用便是一種可以體現抽象群和變換群聯絡的廣泛的定義。
設 g 是乙個群，x是乙個非空集合。如果給了乙個對映 f : g × x → x f : g\times x \rightarrow x
抽象代數筆記 群 子群 商群
參考資料 近世代數基礎 丘維聲 抽象代數 代數系統 所謂代數系統理解為乙個集合以及定義在集合之上的乙個二元元算 同態對映 乙個a aa到a bar a 的對映 phi 其中o oo和o bar o 分別是定義在其上的運算，若存在 只要a a b b a to bar,quad b to bar a ...
抽象代數學習筆記（6）群與子群
前面的幾篇文章介紹了抽象代數的基礎，現在可以接觸一種基本的代數結構 群。之前說過，代數結構就是在乙個集合上定義乙個運算。群也是如此，只是，群需要滿足一些要求。乙個集合 g 以及定義在這個集合上的運算 滿足下列條件 運算 滿足結合律 運算 有乙個單位元e 集合 g 中的每乙個元素在運算 有逆元，即 g...
抽象代數學習筆記（8）迴圈群
抽象代數學習筆記 8 迴圈群 在講子群的時候，我們提出了生成子群的概念 特別的，如果 s 有 根據這些，我們可以引出迴圈群的概念 群 g 稱為迴圈群，如果有 g in g 使得 g 其實之間說過的旋轉變換就可以以迴圈群的形式出現。比如 g begin cos 120 sin 120 sin 120 ...