歷屆試題格仔刷油漆

問題描述

x國的一段古城牆的頂端可以看成 2*n個格仔組成的矩形（如下圖所示），現需要把這些格仔刷上保護漆。

你可以從任意乙個格仔刷起，刷完一格，可以移動到和它相鄰的格仔（對角相鄰也算數），但不能移動到較遠的格仔（因為油漆未乾不能踩！）

比如：a d b c e f 就是合格的刷漆順序。

c e f d a b 是另一種合適的方案。

當已知 n 時，求總的方案數。當n較大時，結果會迅速增大，請把結果對 1000000007 (十億零七) 取模。

輸入格式

輸入資料為乙個正整數（不大於1000）

輸出格式

輸出資料為乙個正整數。

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359635897

思路：畢竟是決賽題，難度是很大的（對我來說），看了這位博主的思路，才發現規律真的很奇妙，導航門

1構造陣列a[x]、b[x]。a[x]表示在2 * x的格仔條件下，從四個角任意乙個角的格仔出發，遍歷全體格仔的方法總數，b[x]表示在2 * x的條件下，從四個角任意乙個角的格仔出發，遍歷全體格仔後回到與之相對的格仔中的方法總數。

顯然，a[1]=1，b[1]=1。

遞推式：

a[x]=

b[x]=b[x-1] * 2

推導如下：

先考慮出發點在角上，從乙個角出發，只有3種可能性。

（1）先去同一列相鄰的格仔，然後前往下一列，這就簡化成從2 * (x-1)的格仔中，從乙個角出發，遍歷全體格仔的問題。因為前往下一列有兩種選法，所以有2 * a[x-1]種方法。

（2）先去相鄰列的同一行的格仔。又分為：

先去左下角，再去右邊部分， a[x-2] * 2種方法

先遍歷右邊的所有，再回來左下角，b[x-1]種方法

（3）先去右下角的格仔，又分為：

先去左邊格仔，再遍歷右邊，a[x-2] * 2種方法

先遍歷右邊，再去左邊，b[x-1]種方法

整理可得

a[x]=a[x-1] * 2+a[x-2] * 4+b[x-1] * 2

b[x]=2 * b[x-1]

而從中間某列的一點（2種選擇）出發時，顯然不能直接往下走，否則無法遍歷所有的點，應當先遍歷左邊（右邊）左右的點，然後回到相對的點，再遍歷右邊（左邊）的點。假設從第i列出發，出發的點有兩種選擇，第二步也有兩種選擇，因此所有的走法有2 * (b[i-1] * 2 * 2 * a[n-i]+ 2 * b[n-i] * 2 * a[i-1])種。加法的前一半時先遍歷左邊，後一半是先遍歷右邊。

於是，總數就是4 * a[x]+σ（2到n-1）2 * (b[i-1] * 2 * 2 * a[n-i]+ 2 * b[n-i] * 2 * a[i-1])

**方面注意對取餘的處理就行了

1 #include2
3using
namespace
std;45
intmain()619
for(int i=3;i<=x;i++)
23long
long
int sum=0
;24 sum=4*a[x];
25for(int i=2;i<=x-1;i++)
29if(x==1) sum=2
;30 cout <
31return0;
32 }

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