P4932 瀏覽器（統計二進位制1的個數）

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有\(n\)個數，\(x_1,x_2,\cdots,x_n\)，問你有多少對\((u,v)\)，使得\(x_u\operatornamex_v\)的二進位制表示中有奇數個\(1\)

輸入六個整數，\(n,a,b,c,d,x_0\)。

每個點的權值需要用如下的方式生成。

\(x_i = (ax_^2 + bx_ + c) \bmod d\)

\(n\le 10^7,\max(x_i)\le 10^9,a,b,c,d,x_0\)在\(int\)範圍

位運算的題，可以先考慮運算前後的數的某些量有何關係

比如這題，可以發現，只有\(x_u,x_v\)的二進位制中\(1\)的個數一奇一偶，\(x_u\operatornamex_v\)的二進位製用才有奇數個\(1\)

可以設\(x_u,x_v\)的二進位制\(1\)有\(k\)位重合，也就是說這\(k\)位上兩個數都是\(1\)

對於異或運算，只有某一位兩數不同才是\(1\)，它們有\(\text+\text-2k\)個數字不同，其實就是分別\(1\)的位數減去共同都是\(1\)的那\(k\)位

那麼即為\(\text+\text-\text=\text\)

那麼現在考慮如何快速地求乙個數二進位制中\(1\)的數量

首先有一種很顯然的方法

inline int cnt1(int x)

如果此題用這個方法，\(o(n\log x)\)，算下來是\(3\cdot 10^8\)，但是 1.5s 仍然跑不出最後兩個點，可能是常數過大

接下來有一種稍有優化的方法

inline int cnt2(int x)

return ret;
}

複雜度和\(x\)二進位制中數的個數有關，最壞也是\(o(\log x)\)

對於如何去掉的最後乙個\(1\)，和計算機數的儲存有關

原碼就是乙個數的二進位制表示，加上符號位，符號位是\(0\)代表整數，否則是負數

但這樣在表示負數時，每增加乙個二進位制位，數的值反而會減少，不能完成加法操作

當然也可以算它的絕對值再取符號之類的，但是對於加法這樣計算機中最基礎的運算，會顯得太麻煩

正數的反碼是其本身，負數的反碼是除了符號位，每一位取反的結果

這樣就解決了正負數各自的加法的問題，說「各自」是因為不能跨過\(0\)

因為\(+0\)表示為\(0000\)，而\(-0\)表示為\(1111\)，所以運算時，每跨過一次\(0\)，都會使結果少一，自己舉兩個例子用反碼表示試試就知道

於是有了補碼，正數的補碼還是其本身，負數的補碼是它的反碼加一

然後就完美的解決了加法的問題

而且\(1111\)這一位就沒有數了（我們以四位二進位制數為例），所以就讓這一位表示\(-2^3\)

這也是為什麼大部分資料型別表示的範圍是\([-2^n,2^n)\)

扯完這些就能理解上面那種方法了，變成負數以後，相當於給每一位取了反，然後加一

假設這個\(x=\cdots 100\cdots\)，寫出來的這個\(1\)就是最後乙個，也就是要去掉的\(1\)，那麼取反以後變成\(\cdots011\cdots\)

因為取反結果後面全是\(1\)，加一，都進製，就變成了\(\cdots100\cdots\)

那麼和原數做與運算，就得出了那一位\(1\)，用異或去掉就行

這種方法已經能通過此題

但還有一種更妙的方法

inline int cnt3(reg int x)

inline int cnt4(reg ll x)

可以看出，這種方法是\(o(\log\log x)\)

其實還有一種看起來更接近\(o(1)\)，但是用到取模運算，所以真正跑起來可能每這個快，也比這個更難理解

以乙個8為二進位制數為例，\(\texttt\)，其實更多位數也一樣

\(\texttt\)的二進位制是\(\texttt\)

所以，和它與，就保留了\(1,3,5,7\)位上的\(1\)，就是\(\texttt\)

如果把這個二進位制數左移一位，再和它與，那麼肯定是保留了\(2,4,6,8\)為上的\(1\)，然後把它分別放到了\(1,3,5,7\)位上

左移一位再與以後的結果：\(\texttt\)

和剛才那個\(\texttt\)加完以後的結果：\(\texttt\)

這裡把它兩位一斷，就能很容易的發現，對於每兩位來說，這兩位的二進位制數，就是這兩位上\(1\)的個數

然後繼續觀察，發現\(\texttt\)的二進位制是\(\texttt\)

那麼\(\texttt\operatorname\texttt=\texttt\)

這個什麼意思？當然是如果每兩位分一段的話，保留\(1,3\)段中的\(1\)

同樣，左移兩位再與，就是保留\(2,4\)段的\(1\)並放在\(1,3\)段上

再加起來，結果就是\(\texttt\)

此時，把它四位一段，前四位的二進位制數是表示前四位有多少\(1\)，後四位也一樣

現在差不多就明白了，其實這個方法就是不斷把相鄰位的\(1\)的個數合併到乙個更大的區間去，最後，就是整個\(x\)表示\(x\)中\(1\)的個數

返回\(x\)

然而這個比上一種方法的總時間也就快了不到半秒

放上完整**

#include#include#include#include#include#include#define reg register

#define en std::puts("")
#define ll long long
inline int read()
while(c>='0'&&c<='9')
return y?x:-x;
}int n;
inline int cnt1(int x)
inline int cnt2(int x)
return ret;
}inline int cnt3(reg int x)
inline int cnt4(reg ll x)
int main()
std::printf("%lld",1ll*odd*even);
return 0;
}

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