經典問題最大子串和

最近幾天好好的研究了一下這個問題。

問題本身就不多說了，求一串數字中的所有子串中，和最大的乙個子串。例如：

輸入：-10 5 2 3 4 -5 -23 3 7 -21

輸出：14 5 4

一、各種方法

方法1：

maxsofar = 0
for i = [0
,n) 
for j =[i,n)
sum = 0
for k =[i,j]
sum +=x[k]
maxsofar = max(maxsofar,sum)

這是最直接最暴力的方法，我沒有寫，時間複雜度為o(n3)，明顯這裡面有很多重複的運算，我們可以很容易的把時間複雜度降為o(n2)。實際上，我第一印象就是下面這個

方法2：

int
s,e;
int maxsum = -999999
;int tempsum = 0
;for(int i=0;i)
}}

這個方法理解為，以x[i]開頭的所有子串中，和最大的乙個。比列舉所有的 i 和 j 減少了計算量。下面乙個比較重要的方法，雖然在時間複雜度上面沒有提高，卻包含了乙個應對區間問題很重要的技巧。

方法3：

cumarr[-1] = 0
for i = [0
,n) cumarr[i] = cumarr[i-1] +x[i]
maxsofar = 0
for i = [0
,n) 
for j =[i,n)
sum = cumarr[j] - cumarr[i-1
] maxsofar = max(maxsofar,sum)

這個演算法中，比較重要的一點事注意到子串和x[i...j] = cumarr[j] = cumarr[i-1]，這個經驗可以用在區間問題上。乙個簡單的列子：

n個收費站之間有n-1段路，每段路花費為p，用o(1)時間求任意兩個收費站的之間的花費，要求空間為o(n)。

萬能的二分能不能用到這個問題上，顯然是可以的。在這個二分的過程中，需要注意的就是，合併結果的時候，需要注意到，跨左邊跟右邊的子串和的計算，最後就是在左邊的最大子串、右邊的最大子串、中間跨界的最大串這三者中取最大值。

方法4：

1
int max_sub(int m,intn)2
21}22int
rmax,b;
23 rmax = sum = b = 0;24
for(int i=k+1;i<=n;i++)
2532}33
int max_l =max_sub(m,k);
34int max_r = max_sub(k+1
,n);
35int result = max(lmax+rmax,max(max_l,max_r));
36/*
37how to record the start and the end
38*/
39return
result;
40 }

對於這個二分，還有乙個待解決的問題，我想嘗試一下，記錄最大子串的起始位置和結束位置。個人對這種遞迴的理解確實不夠，還沒能夠實現記錄起始和結束位置。看來我還是得抽空好好把遞迴這個玩意兒好好理解一下。二分的話，顯然時間複雜度為o(n*logn)。

接下來，就是o(n)的方法了，再來回顧一下方法3中，sum = cumarr[j] - cumarr[i-1]。要使得sum的值最大，顯然cumarr[j]越大，cumarr[i-1]的值越小，sum的值越大。於是我們可以遍歷cumarr陣列，維持乙個最小的cumarr[min_s]，然後取cumarr[j]-cumarr[min_s]的最大值。

方法5：

1 min_s = -1
//這裡要初始化為-1
2 cumarr[-1] = 0;3
for(int i=0;i)
4 cumarr[i] = cumarr[i-1] +input[i];
5for(int i=0;i)614
if(cumarr[min_s] >cumarr[i])
15 min_s =i;
16 }

這裡還有乙個方法6：

1
int start = 0;2
for(int i=0;i)38
else
if(maxendinghere + input[i] <= 0)9
13if(maxendinghere >maxsofar)
1419 }

-10 1 2 3 4 -5 -23 3 7 -21 (num)

-10 | 1 3 6 10 8 | -23 | 3 10 | -21 (sum)（|號為該處sum被清零）

由於10是sum的最大值，所以，紅色的那塊就是要求的範圍了。

這樣就比較好理解第六種方法。

二、思考問題：

1.證明最大子串和的時間複雜度下屆是o(n)

各位如果有思路或者資料麻煩告訴我一聲。。。無處下手啊

2.求子串和最接近0的子串。

嗯，對於這個問題，前面的經驗有 sum = cumarr[j]-cumarr[i-1]，這樣的話問題就轉換成，求cumarr陣列裡面差值最小或者相等的兩個元素。

用排序的方法，再遍歷一次陣列就可以得出結果，時間複雜度為o(n*logn)。有沒有更好的方法？

3.求子串和最接近t的子串。

這個問題，如果繼續採用問題二的方案，問題轉換成,在乙個排好序的陣列裡面找兩個值的差值為t，顯然不能達到同樣的效果。暫時沒有想到其他更好的方法。

4.m和n為整數，給定x[n],求整數i,使得 x[i] + ... + x[i+m] 的和最接近為0。（即在第二個問題的基礎上，加了條件: m個元素）

這個問題因為相差為m,掃一遍cumarr陣列貌似就ok了。

min =max_num
cumarr[-1] = 0
for i = [0
,n) 
if(i+mtemp = cumarr[i+m]-cumarr[i-1
] 
if (min >temp)
min =temp
start =i
end = i+m

想要透徹的理解乙個演算法真的很難，我感覺我還是不太會思考。上面大部分內容是參考程式設計珠璣上面的內容，看懂正文好像不是太難，但是後面的習題就各種傻了。也許是我看得太少的緣故吧。

接下來想要看得主題 column 4 writing correct programs

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