loj 6485 LJJ 學二項式定理

給定$n,s,a_0,a_1,a_2,a_3$，求

$$\sum_^ s^i a_$$

答案對$998244353$取模

$1 \le n \le 10^, 1 \le s,a_0,a_1,a_2,a_3 \le 10^8$

在高中的時候，數學老師教會了我們$(a+b)^=\sum_^a^b^$，然後驚喜的發現這道題不能這麼做！

在$oi$中，我們學習了單位根的基本性質，關於單位根還有乙個迷之用法——單位根反演

對於數列$a_i$，構造其生成函式$f(x)=\sum_^a_ix^i$

現在我們想知道所有下標是$k$的倍數的$a_i$的和，既$\sum_^a_i[k|i]$

有乙個關於$n$次單位根$w_n$的等式，看起來十分有趣毒瘤

$$[n|k]=\frac\sum_^\omega_n^$$

證明：如果$n \mid k$，設$k=np$，則

$$\frac\sum_^w_n^=\frac\sum_^w_n^=1$$

如果$n \nmid k$，根據等比數列求和公式，則

$$\frac\sum_^\omega_^=\frac(w_n^\frac}})=\frac})}=0$$

於是對於$n$次單位根$w_n$可以這麼搞：

$$\frac^f(w_n^i)}=\frac^a_i\sum_^w_n^}=\sum_^a_i[n \mid i]$$

於是就可以得到所有下標是$n$的倍數的$a_i$的和了

但是發現，只知道所有$n \mid i$的$a_i$的和還不夠有用，如果分別知道$i \bmod n \in [0,n-1]$的$a_i$的和的話就十分有用了

數學老師告訴我們，$f(x)$通過乘以$x$的若干次冪可以實現函式的平移（雖然說這句話不太嚴謹……但還是可以湊合著看看……）

比如說現在有$f(x)=a_0x^+a_1x^+a_2x^ + \dots$

對其乘上$x^$後會得到$f(x)x^=a_0x^+a_1x^+a_2x^ + \dots$

再用上面的方法求後就得到了$n \bmod i = 1$的所有$a_i$和

在這道題中，構造$f(x)=\sum_^ s^i x^i 1^=(sx+1)^n$

則答案為$\sum_^a_ic_i$，其中$c_i=\sum\limits_^s^j[j \bmod 4 = i]$

對於$c_i$的$f(\omega_n^j)$，因為需要將$\omega_n^$向右平移$i$次，只需要將其變為$\huge \frac}$即可

1 #include 2

using
namespace
std;
3 typedef long
long
ll;4
const
int p = 998244353, g = 3;5
ll pw(ll a, ll b) 
10 ll n, s, a[4], w[4], c[4
];11
intmain() 
23 ll sum = 0;24
for(int i = 0 ; i < 4 ; ++ i) sum = (sum + a[i] * c[i] % p) %p;
25 printf("
%lld\n
", sum);26}
27 }

一些資料

shadowice1984loj6485 ljj學二項式定理

dt_kang【4.13 提高班小記】單位根&&雜題

zhang-rq單位根反演學習筆記

mys_c_k[真學習筆記] 前夕 - 單位根反演 - 廣義容斥

regina8023【bzoj 3328】pyxfib

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