給出\(n, s, a_0, a_1, a_2, a_3\)，求
\[\sum_ ^ n \binom s ^ i a_
\]對\(998244353\)取模的值。
本來像強行用xiaomange的方法艹過去，but failed。
大概猜到和原根有關，但是思考也只是停留在特殊的情況下，沒有進行更有效的思考。
正解是單位根反演。
大概就是在推式子的過程中發現突破口的
\[\begin
origin
& = \sum_ ^ 3 a_k \sum_ ^ n [4 | i + 4 - k] \binom s ^ i \\
\end
\]注意到在對\(998244353\)取模下有4次單位根\(\omega_4\)，又由於有恒等式
\[[n | m] = \frac \sum_ ^ \omega_n ^ \]則
\[\begin
origin
& = \sum_ ^ 3 a_k \sum_ ^ n \binom s ^ i \sum_ ^ 3 \omega_4 ^ \\
& = \sum_ ^ 3 a_k \sum_ ^ 3 \sum_ ^ n \binom s ^ i \omega_4 ^ \\
& = \sum_ ^ 3 a_k \sum_ ^ 3 \omega_4 ^ \sum_ ^ n \binom s ^ i \omega_4 ^ \\
& = \sum_ ^ 3 a_k \sum_ ^ 3 \omega_4 ^ (s \omega_4 ^ j) ^ n \\
\end
\]再直接做即可。
#include using namespace std;
typedef long long ll;
const int mod = 998244353, g = 3;
ll power (ll a, ll b)
} return ret;
}int t; ll w, n, s, a, p, q, ans;
int main ()
}ans = ans * power(4, mod - 2) % mod;
printf("%lld\n", ans);
}return 0;
}
LOJ 6485 LJJ 學二項式定理
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