TJOI2015 組合數學

題目

學習了\(\rm dilworth\)定理，即偏序集的最小全序集劃分等於最大反鏈長度

定理的內容看起來非常自閉，偏序集、全序集和反鏈都是個啥

偏序集其實非常常見，經典的二維偏序、三維偏序其實就是最基本的偏序關係，比如說乙個二元組集合\(a\)，對於\((x_1,y_1),(x_2,y_2)\in a\)，當\(x_1\leq x_2,y_1\leq y_2\)時我們稱\((x_1,y_1)\leq (x_2,y_2)\)，則\((a,\leq )\)為乙個偏序集

如果存在\(x_1\leq x_2,y_1>y_2\)，我們就無法在\((a,\leq)\)這個偏序集中定義\((x_1,y_1),(x_2,y_2)\)的大小關係，那麼就稱\((x_1,y_1),(x_2,y_2)\)在\((a,\leq)\)中不可比

全序集是偏序集的乙個子集，如果\(b\subseteq a\)，且\(\forall (x_1,y_1),(x_2,y_2)\in b\)，存在\((x_1,y_1)\leq (x_2,y_2)\)或\((x_2,y_2)\leq (x_1,y_1)\)，即兩兩元素可比，則稱\(b\)為\(a\)的乙個全序集

如果對於\(a\)的乙個子集，其中元素兩兩不可比，則稱該子集為乙個反鏈

於是這個定理通俗理解一下大概就是，把乙個偏序集劃分成若干個兩兩可比的集合，這個劃分數的最小值等於最大的兩兩不可比的子集的元素個數。

這個定理還可以推廣到\(\rm dag\)上，即\(\rm dag\)的最小路徑劃分等於最大獨立集的大小

這也非常好理解，我們可以把\(\rm dag\)的邊看成偏序集的大小關係，最小路徑劃分等價於選出一些全序集，而最大獨立集保證兩兩點不可達，即是乙個最大反鏈。

對於這道題我們可以大致理解為如果兩個格仔\((a,b),(c,d)\)存在\(a\leq c,b\leq d\)，我們就稱兩個格仔存在偏序關係。

不難發現由於我們只能向下或向右走，我們一次走過的點一定是乙個全序集，而我們要求的就是全序集的最小劃分數。

所以我們求乙個最大反鏈長度即可。

由於我們經過乙個點一次只能使得這個點的點權減一，所以我們把每個點視為點權個點。搞乙個從左上往右下轉移的dp即可。

#include#define re register
#define ll long long
#define max(a,b) ((a)>(b)?(a):(b))
#define min(a,b) ((a)<(b)?(a):(b))
inline int read() 
const int maxn=1e3+5;
int t,n,m,a[maxn][maxn];
ll dp[maxn][maxn];
int main() 
ll ans=0;
for(re int i=1;i<=n;i++)
for(re int j=1;j<=m;j++) ans=max(ans,dp[i][j]);
printf("%lld\n",ans);
} return 0;
}

TJOI2015 組合數學

TJOI2015 組合數學

TJOI2015 組合數學

TJOI2015 組合數學

相關推薦