求 \(n \le 10^9\) 個節點的二叉樹的葉子節點數期望。
設 \(f_i\) 表示 \(i\) 階二叉樹本質不同個數，\(g_i\) 表示所有本質不同 \(i\) 階二叉樹的樹葉個數的和，則有
\[f_i = \sum_^ f_jf_, \quad g_i=2\sum_^ f_j g_
\]顯然 \(f_i\) 是卡特蘭數數列，有
\[f_n=\frac ^n} =\frac f_
\]然而 \(g_i\) 不好處理，下面我們證明 \(g_n=nf_\)。
對於 \(n\) 階二叉樹，設有 \(k\) 個葉子，分別刪去得到 \(k\) 棵 \(n-1\) 階二叉樹。而每個 \(n-1\) 階二叉樹有 \(n\) 個位置可以懸掛新的葉子，這種新增方式唯一對應了一種刪除操作，而刪除操作的總數就是所有葉子的個數總和。因此，葉子個數的總和為 \(nf_\)。
於是有\[\frac = \frac } =\frac
\]
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