第 k 小的數

給定兩個大小為 m 和 n 的不同時為空的有序陣列 nums1 和 nums2。找出這兩個有序陣列的中位數，並且要求演算法的時間複雜度為 o(log(m + n))。

題目要求的時間複雜度是 o(log(m + n))，要產生這樣級別的時間複雜度只有採用二分查詢法，用分治遞迴的思路來考慮這個問題。

需要轉換題目中求中位數的問題為求第 k 小數的問題。如果 m + n 是奇數，那麼尋找第 k = (m + n)/2 + 1 小的數即可；如果長度和是偶數，那麼我們還需要尋找第 (m + n)/2 小的數，然後計算兩數的平均值。

在求解整個問題的過程中，我們始終需要考慮乙個很重要的問題--陣列索引越界問題。

下面將詳細地分析整個遞迴流程。

①、首先定義遞迴函式的作用：尋找兩個有序陣列 nums1 陣列中 [l1, r1] 範圍內和 nums2 陣列 [l2, r2] 範圍內第 k 小的數，k 從 1開始計數。

/**

* l1 nums1陣列的尋找範圍的左邊界
* r1 nums1陣列的尋找範圍的右邊界
* l2 nums2陣列的尋找範圍的左邊界
* r2 nums2陣列的尋找範圍的右邊界
* k 需要尋找第k小的元素
*/int findkth(int nums1, int l1, int r1, int nums2, int l2, int r2, int k)

③、如果要尋找的 k > len1 + len2，就像只有 3 個數字要找第 4 小的數一樣，超出尋找區域，顯然無法找到。

④、遞迴的終止條件：

當 len1 = 0 時，說明只有 nums2 陣列中有元素，直接取 nums2[l2 + k - 1] 位元素即可。

當 k = 1 時，說明要取的是兩個有序陣列中的最小值 min(nums1[l1], nums2[l2])。

⑤、遞迴過程：

由於要求的是第 k 小的數，而且是在兩個有序陣列中求。劃分兩個陣列時按照 k 值來分。取變數 i = min(len1, k/2)，之所以這麼取，是為了防止 l1 + k/2 - 1 > len1 導致從 nums1 取值越界。再取變數 j = min(len2, k/2)。

接下來比較 nums1[l1 + i - 1] 和 nums2[l2 + i - 1] 這兩個值。

如果 nums1[l1 + i - 1] <= nums2[l2 + j - 1]，顯然 nums1 陣列中索引為 l1 + i - 1 及之前的元素不可能是中位數，去除 nums1 陣列中 [l1, l1 + i - 1] 範圍內的元素，縮小了查詢範圍。我們遞迴呼叫該函式，此時在 nums1 中的查詢範圍變成了 nums1[l1 + i, r1]，此時要找的也不應該是第 k 小的元素，因為已經剔除了 i 個比 k 小的元素，因此我們要找的元素變成了第 k - i 小的元素。

如果 nums1[l1 + i - 1] > nums2[l2 + j - 1]，同理，nums2 陣列中索引為 l2 + j - 1 及之前的元素不可能是中位數，縮小查詢範圍，剔除了 j 個比 k 小的元素，因此我們要找的元素變成了第 k - j 小的元素。

因為 i + j = min(len1, k/2) + min(len2, k/2) <= k，所以可以直接判斷 [l1, l1 + i - 1] 或者 [l2, l2 + j -1] 區間的元素不可能是中位數。 

總結：演算法的思想是不斷的剔除資料，逐漸逼近第 k 小的數。

假設陣列長度足夠長，每次剔除的元素都是 k/2(i 或者j)，顯然我們需要 log(k) 次才能找到第 k 小數，這和二分查詢法是同理的，而我們要找的 k 值要麼是 (m + n)/2 + 1，要麼額外再加上 (m + n)/2，因此時間複雜度是 o(log(m + n)) 級別的。

#define min(a, b) (a) < (b) ? (a) : (b)

int findkth(int* nums1, int left1, int right1, int* nums2, int left2, int right2, int k)
if(n1 == 0) 
else if (n2 == 0) 
if(k == 1) 
int i = min(n1, k / 2);
int j = min(n2, k / 2);
// 剔除比第 k 小的數還小的數，逐漸逼近
if(nums1[left1 + i - 1] > nums2[left2 + j - 1]) 
else 
}double findmediansortedarrays(int* nums1, int nums1size, int* nums2, int nums2size)
// 兩個陣列總長度是偶數
else 
}

leetcode004——兩個排序陣列的中位數

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