\(\\\)
對於兩個點\((x_1,y_1),(x_2,y_2)\)，定義他們的曼哈頓距離為\(|x_1-x_2|+|y_1-y_2|\)，即兩座標軸分別討論差值再求和。
對於曼哈頓距離相同的點，他們分布在同一橫縱截距且截距相同的直線上。
圖中每乙個正方形邊界上的整點到原點的曼哈頓距離相同。
\(\\\)
對於兩個點\((x_1,y_1),(x_2,y_2)\)，定義他們的曼哈頓距離為\(max\\)，即兩座標軸分別討論差值取最大。
對於切比雪夫距離相同的點，他們分布在以原點為中心的正方形邊界上。
圖中每乙個正方形邊界上的整點到原點的曼哈頓距離相同。
\(\\\)
考慮曼哈頓距離的表示式：\(|x_1-x_2|+|y_1-y_2|\)，其實可以表示成：
\(\beginmax\\end\)
考慮將兩個點變化為\((x_1+y_1,x_1-y_1),(x_2+y_2,x_2-y_2)\)
那麼變化後兩點的切比雪夫距離為\(max((|(x_1+y_1)-(x_2+y_2)|,|(x_1-y_1)-(x_2-y_2)|)\)
若原來兩點曼哈頓距離為\(x_1-x_2+y_1-y_2\)或\(x_2-x_1+y_2-y_1\)時，都可以表示為\(|(x_1+y_2)-(x_2+y_2)|\)
若原來兩點曼哈頓距離為\(x_1-x_2+y_2-y_1\)或\(x_2-x_1+y_1-y_2\)時，都可以表示為\(|(x_1-y_1)-(x_2-y_2)|\)
將每乙個點\((x,y)\)轉化為\((x+y,x-y)\)，新座標系下的切比雪夫距離即為原座標系下曼哈頓距離。
\(\\\)
按照剛才的思路再還原回去即可。
將每乙個點\((x,y)\)轉化為\((\frac,\frac)\)，新座標系下的曼哈頓距離即為原座標系下切比雪夫距離。
這個轉化一般比較常用，曼哈頓距離一般可以通過排序字首和的方式降低計算複雜度。
注意到除法如果向下取整可能會使答案不正確，所以考慮先不除以\(2\)，最後求完答案再除以\(2\)也是一樣的，形象的理解可以說成，曼哈頓座標系是通過切比雪夫座標系旋轉\(45^\)後，再縮小到原來的一半得到的。
\(\\\)
有\(n\)個二位平面上的點，定義每乙個點到其八連通的點的距離為\(1\)。\(\\\)選乙個點，使得剩下所有點到該點的距離之和最小，求出這個距離之和。
題意即為求切比雪夫距離之和最小，暴力的做法是\(n^2\)的。
考慮將切比雪夫距離轉化為曼哈頓距離，我們將橫縱座標分開排序求字首和，這樣既可快速求出，以乙個點為中心，其他點到這個點的曼哈頓距離之和。
具體的做法是將兩個座標分開討論，每次找到當前點在排序後陣列的位置\(p\)。
那麼它前面的點座標都小於當前點，累加的答案為\(p\times x[i]-sum_p\)。
後面的點的座標都大於當前點，反過來累加答案，為\((sum_n-sum_p)-(n-p)\times x[i]\)
對所有的點都求一遍，取最小值即可，複雜度\(\text o(nlogn)\)。
\(\\\)
#include#include#include#include#include#include#include#define n 100010
#define r register
#define gc getchar
#define inf 900000000000000000
using namespace std;
typedef long long ll;
inline ll rd()
while(isdigit(c))
return f?-x:x;
}ll n,ans=inf,x[n],y[n],sx[n],sy[n],sumx[n],sumy[n];
int main()
sort(sx+1,sx+1+n);
sort(sy+1,sy+1+n);
for(r ll i=1;i<=n;++i)
for(r ll i=1,res;i<=n;++i)
printf("%lld\n",ans);
return 0;
}
1012 曼哈頓距離 切比雪夫距離
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