已知 \(g(x)\)，求 \(f(x)\) 滿足 \(g(f(x)) \equiv 0 \pmod\)。
倍增。設 \(f_0(x)\) 滿足 \(g(f_0(x)) \equiv 0 \pmod \rceil}}\)。
將 \(g(x)\) 在 \(f_0(x)\) 處泰勒展開，
\[g(x) \equiv \sum_\frac(f_0(x))}(f(x) - f_0(x))^i \equiv 0 \pmod
\]由於 \(f(x)\) 和 \(f_0(x)\) 的前 \(\lceil \frac \rceil - 1\) 項相同，所以 \(\forall i \ge 2，(f(x) - f_0(x))^i \equiv 0 \pmod\)
所以\[g(x) \equiv g(f_0(x)) + g'(f_0(x))(f(x) - f_0(x)) \equiv 0 \pmod
\]移項可得
\[f(x) = f_0(x) - \frac
\]設 \(h(x)\) 為原多項式，
設\[g(f(x)) \equiv \frac - h(x) \equiv 0 \pmod\]則
\[\begin
f(x)
&\equiv f_0(x) - \frac - h(x)}} \pmod \\
&\equiv f_0(x) + f_0(x) - f_0^2(x)h(x) \pmod \\
&\equiv f_0(x)(2 - f_0(x)h(x)) \pmod \\
\end
\]時間複雜度為 \(t(n) = t(\frac) + o(n\log n) = o(n \log n)\)。
設\[g(f(x)) \equiv f_0^2(x) - h(x) \equiv 0 \pmod\]則
\[\begin
f(x)
&\equiv f_0(x) - \frac \pmod \\
&\equiv \frac(f_0(x) - \frac)
\end
\]時間複雜度為 \(o(n \log n)\)。
前置知識：\((\ln x)' = \frac\)
設\[g(f(x)) \equiv \ln f(x) - h(x) \equiv 0 \pmod\]則
\[\begin
f(x)
&\equiv f_0(x) - \frac} \pmod \\
&\equiv f_0(x)(1 - \ln f_0(x) + h(x)) \pmod
\end
\]時間複雜度為 \(o(n\log n)\)。
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