摘抄整理自《數字訊號處理》第二版，吳鎮揚，高等教育出版社12頁，1.2節離散時間訊號的傅利葉變換與z變換。
像模擬訊號一樣，離散時間訊號或數碼訊號序列（這裡用詞相當嚴謹，數碼訊號序列取值上是離散的而離散時間訊號則不一定）也存在著傅利葉變換，通常稱為離散時間訊號的傅利葉變換，即dtft（discrete-time fourier transform）。序列x(n)的dtft定義為
$x(}) = \sum\limits_^\infty }} $ （1.9）
式中w為數字角頻率，它是頻率f對取樣頻率fs作歸一化後的角頻率
$w = \frac}}}$
顯然x(e^jw)是w的連續函式，並且是以2π為週期的。（1.9）式的級數不一定總是收斂的，例如x(n)為單位階躍序列，級數就不收斂。（1.9）式收斂的充分條件為：
$\sum\limits_^\infty }} \right|} = \sum\limits_^\infty \right|} < \infty $
即x(n)絕對可和，則它的dtft一定存在。同時，也可以推斷，有限長序列總是滿足絕對可和條件的，其dtft也總是存在的。
用e^jwn乘以（1.9）式的兩邊，並在w的乙個週期內積分，可得
$\begin
\int\limits_^\pi })}dw} = \int\limits_^\pi ^\infty }} } \right]} }dw\\
= \sum\limits_^\infty ^\pi }} dw} \\
= 2\pi \sum\limits_^\infty
\end$
注釋：上式中，m和n是表示序列的位置，取值離散，即m要麼等於n，要麼為不等於n的其他整數，在這個前提下，積分結果可分情況討論得出。注意到這裡δ(m-n)是單位序列（離散）而不是衝激函式（連續）。
即$x(n) = \frac}\int\limits_^\pi })}dw} $
這就是離散時間訊號的逆傅利葉變換（idtft）的公式。
離散傅利葉變換
傅利葉 原理表明 任何連續測量的時序或 訊號，都可以表示為不同頻率的正弦波 訊號的無限疊加。而根據該 原理創立的傅利葉變換演算法利用直接測量到的原始 訊號，以累加方式來計算該 訊號中不同正弦波 訊號的頻率 振幅和相位。岡薩雷斯版 影象處理 裡面的解釋非常形象 乙個恰當的比喻是將傅利葉變換比作乙個玻璃...
離散傅利葉變換
作用 離散傅利葉變換主要是將連續的訊號轉換為離散的訊號。如在時域上連續的有時在頻域上是離散的。然而我們知道，任何的乙個函式都可以由無數個正弦函式和余弦函式相結合的形式來表示。即 如果將乙個影象進行離散傅利葉變換，就是將影象從空間域轉換到頻域上。其中f是空間域的值，f是頻域的值。轉換後的頻域值是複數。...
離散傅利葉變換
離散時間傅利葉級數 dfs 用ws進行週期延拓 連續復指數和離散復指數的區別和聯絡 當k 1時，乙個週期t後，即 n 0 127 取完後之後只旋轉了一圈。當k 2時，乙個週期t後，即 n 0 127 取完後之後只旋轉了兩圈。當k 3時，乙個週期t後，即 n 0 127 取完後之後只旋轉了三圈。dfs...