演算法導論中位數和順序統計量

在乙個由n個元素組成的集合中，第i個順序統計量是該集合中第i小的元素。乙個中位數是它所屬集合的「中點元素」。當n為奇數時，中位數是唯一的，位於i=(n+1)/2處；當n為偶數時，存在兩個中位數，分別位於i=n/2和i=n/2+1處。如果不考慮n的奇偶性，中位數總是出現在i=⌊(n+1)/2⌋處（下中位數）和i=⌈(n+2)/2⌉（上中位數）。

1、最小值和最大值

在乙個有n個元素的集合中，需要做n-1次（上界）比較才能找到最小值或最大值。

int minivalue(const
int *a, int
len)
}return
minvalue;
}

那麼如何同時找到最小值和最小值呢？

比較簡單的思路是：只要分別獨立找出最大值和最小值，各需要n-1次比較，共需2n-2次比較。下面給出乙個演算法，只需要最多3⌊n/2⌋次比較就可以同時找到最大值和最小值。

思路是：記錄已知的最大值和最小值，對輸出元素成對地進行處理。

（1）首先，將一對輸入元素相互比較，然後將較小的與當前最小值比較，較大的與當前最大值比較，這樣每對元素共需3次比較。

（2）如果n是奇數，將最小值和最大值的初值都設為第乙個元素的值，然後成對地處理餘下的元素；如果n是偶數，就對前兩個元素做一次比較，決定最大值和最小值的初值，然後成對地處理餘下的元素。

1
void minmaxvalue(const
int *a, int len, int &minvalue, int &maxvalue)211
else
1217
18for (; i < len; i += 2)19
25else
2630
31if (tmpmin 
3235
36if (maxvalue 
3740
}41 }

如果n是奇數，共進行3⌊n/2⌋次比較。如果n是偶數，共進行3(n-2)/2+1=3n/2-2次比較。

2、期望為線性時間的選擇演算法

下面介紹一種解決選擇問題的分治演算法。

#include using
namespace
std;
int randomizedpartition(int *a, int low, int
high)
}a[high] = a[i + 1
]; a[i + 1] =key;
return i + 1;}
int randomizedselect(int *a, int low, int high, int
i) 
int q =randomizedpartition(a, low, high);
int k = q - low + 1
; 
if (i ==k)
else
if (i 
else}//
test
intmain()
; 
for (int i = 1; i <= 10; ++i)
cout 
<
return0;
}

說明：

（1）randomizedselect的最壞執行時間為

，因為每次劃分時可能總是按餘下的元素中最大的來進行劃分，而劃分操作需要

時間。（2）與快速排序不同的是，快速排序會遞迴處理劃分的兩邊，而randomizedselect只處理劃分的一邊，這一差異體現在效能上就是快速排序的期望執行時間為

，而randomizedselect的期望執行時間為

。3、最壞情況為線性時間的選擇演算法

下面介紹乙個最壞情況執行時間為o(n)的選擇演算法select。

步驟1：將輸入陣列的n個元素劃分為⌊n/5⌋組，每組5個元素，且至多只有一組由剩下的n mod 5個元素組成。

步驟2：尋找這⌈n/5⌉組中每一組的中位數：首先對每組元素進行插入排序，然後確定每組有序元素的中位數。

步驟3：對步驟2中找出的⌈n/5⌉個中位數，遞迴呼叫select以找出其中位數x。

步驟4：利用修改過的partition版本，按中位數的中位數x對輸入陣列進行劃分。

步驟5：k為劃分的低區元素個數+1。如果i=k，返回x;如果ik，則在高區遞迴查詢第i-k小的元素。

說明：select演算法通過對輸入陣列的遞迴劃分來找出所需元素，在該演算法中能夠保證得到對陣列的乙個好的劃分。select使用的也是快速排序的確定性劃分演算法partition，做的修改是將劃分的主元也作為輸入引數。

演算法導論中位數和順序統計量

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