1：n個元素組成的集合，第
i個順序統計量，就是該集合中第
i小的元素。所以，集合中的最小值就是第1個順序統計量，最大值就是第n個順序統計量。中位數是所屬集合的「中點元素」，當n是奇數的時候，中位數唯一，位於(n+1)/2處。如果n是偶數，中位數有兩個，分別位於n/2和(n/2) + 1。
2：選擇問題，就是選擇第
i個順序統計量的問題。如果利用排序的話，那最快可以在
o(n lgn)
時間內解決，但其實有更快的演算法。
3：為了找到
n個元素中的最小值或者最大值，最少需要
n-1次比較：
minimum(a)
min = a[1]
for i = 2 to a.len
if min > a[i]
min = a[i]
return min
4：對於需要同時找到最大值和最小值的問題，如果是獨立找出最大值和最小值的話，需要
2n-2
次比較，實際上，採用某種方法可以實現比較次數最多到3（
n/2）次。該方法是：記錄已知的最大值和最小值，對輸入的元素成對的進行處理，首先將2個輸入元素相互比較，然後把較小的元素與最小值比較，較大的元素與最大值比較，這樣，每兩個元素共需比較3次。如果n是奇數，把最大值和最小值的初值都設定為第乙個元素的值，所以，比較次數為3((n-1)/2)。如果n是偶數，把前兩個元素作比較，確定最初的最大值和最小值，所以，比較次數為3((n-1)/2)。所以，不管哪一種情況，總的比較次數最多為3(n/2)。
如果要找第二小的元素，證明最壞情況下需要n + lg n – 2次比較。
證明：採用這樣的方法找最小元素：將n個元素成對比較，找到n/2個小元素，然後對著n/2個元素再次成對比較，知道最後乙個元素，也就是最小元素。
在該演算法中，可以從底向上畫出一棵完全二叉樹，數有n個葉子結點，有n-1個內部結點，每個內部結點代表了一次比較，所以在尋找最小元素的過程中，需要n-1次比較。
為了找到第二小的元素，因該元素肯定是在與最小元素的比較過程中被淘汰掉了，所以為了尋找該元素，可以在該完全二叉樹中，找到包含最小元素的分支，該分支一共有
lg n
個結點，在這
lgn個結點中在找最小節點就好了，也是需要
lg n – 1
次比較。
所以一共需要n + lg n – 2次比較。
5：對於一般的選擇問題，可以採用類似於快速排序的方法，可以使執行時間達到θ(n)。該演算法稱為randomized-select演算法。該演算法也是隨機演算法，因為其中呼叫了randomized-partition。演算法偽**如下：
randomized-select(a, p, r, i)
if(p == r)
return a[p]
q = randomized-partition(a, p, r)
k = q – p + 1
if(k == i)
return a[q]
else if i < k
return randomized-select(a,p, q-1, i)
else return randomized-select(a,q+1, r, i-k)
該演算法的最壞情況執行時間為θ( )。但因為是隨機的，所以不存在乙個特定的輸入會導致最壞情況的發生。該演算法的期望執行時間為
o(n)
。int randompartition(int *set, int begin, int end)
}exchange(set+i+1, set+end);
return i+1;
}int partitionselect(int *set, int begin, int end, int index)
if(begin == end)
q = randompartition(set, begin, end);
k = q - begin + 1;
if(index == k)
else if(index < k)
else
}6：select演算法可以在最壞情況執行時間為o(n)來解決選擇問題，該演算法步驟如下：
a、將輸入陣列的n個元素劃分為n/5組，每組5個元素，且至多有乙個組由剩下的nmod 5個元素組成。
b、尋找n/5個組中每一組的中位數。（方法首先對每組中的元素進行插入排序，然後從排序過的序列中選出中位數）
c、對第2步中找出的n/5個中位數，遞迴呼叫select找出其中位數x。（如果有偶數個中位數，根據約定，x是下中位數。）
d、 利用修改過的partition過程，按中位數的中位數x對輸入陣列進行劃分。讓k比劃分低區的元素多1，所以x是第k小的元素，並且有n-k個元素在劃分的高區。
e、如果i=k，則返回x，否則，如果ik，則在高區找第（i-k）個最小元素。
圖中箭頭指向表示大的數值指向小的數值，所以根據圖可以看出，在x的右邊，每乙個包含5個元素的組中至少有3個元素大於x，x的左邊，每一組中至少有3個元素小於x。（保證x分割一邊必定有元素存在）
圖中顯示的中位數的中位數x的位置，每次選取x作為劃分的好處是能夠保證必定有一部分在x的一邊。
所以演算法最壞情況的遞迴公式可以寫成：
使用替換法可以得出t（n）<=cn。
演算法導論 中位數和順序統計量
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演算法導論 9 中位數和順序統計量
乙個中位數是它所屬集合的中點元素 9.1.1 在乙個有n個元素的集合中，需要做多少次比較才能確定其最小元素呢 9.1.2 同時找到最小值和最大值 實現 同時求解最大值和最小值 123 4567 891011 1213 1415 1617 1819 2021 2223 2425 26 def mini...
演算法導論學習筆記7 中位數和順序統計量
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