博弈論 P1288 取數遊戲II

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有乙個取數的遊戲。初始時，給出乙個環，環上的每條邊上都有乙個非負整數。這些整數中至少有乙個0。然後，將一枚硬幣放在環上的乙個節點上。兩個玩家就是以這個放硬幣的節點為起點開始這個遊戲，兩人輪流取數，取數的規則如下：

（1）選擇硬幣左邊或者右邊的一條邊，並且邊上的數非0；

（2）將這條邊上的數減至任意乙個非負整數(至少要有所減小)；

（3）將硬幣移至邊的另一端。

如果輪到乙個玩家走，這時硬幣左右兩邊的邊上的數值都是0，那麼這個玩家就輸了。

如下圖，描述的是alice和bob兩人的對弈過程，其中黑色節點表示硬幣所在節點。結果圖(d)中，輪到bob走時，硬幣兩邊的邊上都是0，所以alcie獲勝。

現在，你的任務就是根據給出的環、邊上的數值以及起點（硬幣所在位置），判斷先走方是否有必勝的策略。

第一行乙個整數n（n≤20），表示環上的節點數。

第二行n個數，數值不超過30，依次表示n條邊上的數值。硬幣的起始位置在第一條邊與最後一條邊之間的節點上。

僅一行。若存在必勝策略，則輸出「yes」，否則輸出「no」。

425

yes

300

no

（n≤20）

博弈論。有如下性質：

定理一：先手決定取數的方向。

證明：如圖一：

（圖一）

從綠色點開始取數，不妨設先手想順時針方向取數，那麼只需要把權值為1的邊取成0即可。後手只能繼續順時針取數，因為不能取邊權0的一側。

一般的，先手只要將自己想要的方向取成0，那麼就可以決定自己取數的方向。

定理2：取數過程的方向是單向的，一旦確定不會折返。

證明：如圖一，依然不妨設先手想順指標取數，那麼他先取了邊權為1的邊，此時後手只能繼續順時針取數，不管他將2取成1還是0，先手如果想繼續順時針取數，那麼只需要繼續取邊權為3的邊為0即可，無需考慮後手上一步是怎麼取得。因為下一條邊取成0之後，無論如何都不會返回上一條邊了。

一般的，先手只要把自己經過的邊取成0，就可以保證過程單向不會折返。

由定理1、2易推知定理3：在取數過程中，每個人會取到哪個位置是唯一確定的。

由定理2可以推知定理4：在取數過程中，誰的「前進道路」的下一條邊是零邊誰就會輸。

證明：由定理2可知方向是單向的。如果前面是0邊，則無法往前走，由定理二也無法往後走（只需要上一手的人把上一條邊取成0）。於是會輸。

綜合定理1、2、3、4可以知道，只要出發點的取數方向一側的線段離0邊距離為偶數，則必勝，否則必輸。由於先手可以選擇順時針或逆時針，所以列舉兩個方向，如果有必勝策略則必勝。如果都會輸則gg。

#include#define maxn 25inline 
void qr(int &x) 
while(ch>='
0'&&ch<='
9') x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48),ch=getchar();
x*=f;
return;}
inline 
int max(const
int &a,const
int &b) 
inline 
int min(const
int &a,const
int &b) 
inline 
int abs(const
int &x) 
inline 
void swap(int &a,int &b) 
intn,mu[maxn];
intmain() 
break
; }
}if(mu[n]) for(int i=n;i;--i) 
break
; }
}putchar('n
');putchar('
o');putchar('\n'
); 
return0;
}

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