神仙DP 單調佇列模擬題區間覆蓋

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給出數軸上的n個線段，保留最多k條線段，問這些被保留下來的線段的並集長度為最多為多少。

第一行兩個數n和k

接下來n行，每行兩個數，表示一條線段的左右端點。（0<=每個數<109）

乙個數表示答案。

321

87152

對於30%的資料，1<=n<=20

對於60%的資料，1<=n<=300

對於100%的資料，1<=n<=100000,,1<=k<=min(100,n)；

想了半天，看這個資料範圍大概是nlogn可過，n*k也可過。先考慮貪心，貌似可行，但是貪心的複雜的是o(kn2l

ogn)……手動再見還不如樸素dp。

考慮dp。樸素dp十分好想，按區間右端點排序，設f[i][j]為前i個線段選j個，其中必選i。這樣易得轉移方程：

f[i][j]=max(max,max)。

直觀上，方程表示從前h個選j-1個開始轉移，按區間是否有交劃分轉移。

如此轉移，需要列舉當前區間，當前區間前的區間，以及線段個數，時間複雜度為o(n2k)。期望得分50分。

下面我進行了許多毫無卵用的優化：

觀察前半個轉移方程，需要找到前h個中最大的f[h][j-1]。顯然線段樹可以儲存區間最大值，於是對於前半段線段樹優化。這樣就無需列舉h。那麼如何確定h呢?考慮因為右端點滿足單調性，於是進行二分。二分h的位置。複雜度o(logn)。對於後半個方程，想破腦袋也只能列舉轉移，這樣在期望狀態下，複雜度為o(nklog2n)。兩個log乙個是線段樹的乙個是二分的。於是我們發現，我們的期望得分仍然是50分……

這是跑的最快的50分做法。差點卡常卡過70分。

下面是正解：

對於前半部分方程，需要取前i個的最大值，顯然字首最大值可做。即max[i][j]=max(max[i-1][j],frog[i][j])這樣，對於前半部分的轉移，轉移時間從o(logn)降低到了o(1)。可是這樣期望還是50分啊。考慮最大h的位置。由於滿足右端點遞增，如果在排序是將左端點為第二關鍵字公升序排序，那麼顯然h是遞增的。因為h代表的是右端點小於等於l[i]的右端點區間最大的編號。由於r[i]遞增，l[i]公升序，所以l[i]遞增。(對於相互包含的區間，顯然大區間優於小區間，需要去重）這樣只需要不斷++h，判斷h是否合法即可。這樣，決策時間也降到了o(1)。下面考慮對於後半部分方程的轉移。由於r[i]、l[i]遞增，所以滿足第二部分方程的h是遞增的。如此可以進行單調佇列優化。對於合法的但是小的f，會被新進佇列的元素直接覆蓋。不合法的會從隊首彈出。如此，整個轉移的複雜度被降到了o(1)。所以本題的複雜度為θ(nk+n+nlogn)，其中nk為dp，n為單調佇列總維護次數，nlogn為排序複雜的。即o(nk)。這樣複雜度就合法通過了本題。

#include#include
#define maxn 100010inline 
void qr(int &x) 
while(ch>='
0'&&ch<='
9') x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48),ch=getchar();
if(f) x=-x;
}inline 
int max(const
int &a,const
int &b) 
inline 
int min(const
int &a,const
int &b) 
inline 
int abs(const
int &x) 
inline 
void swap(int &a,int &b) 
intn,k,ans;
struct
m ;m mu[maxn];
int frog[maxn][110
];inline 
bool cmp(const m &a,const m &b) 
intmain() 
std::sort(mu+1,mu+1+n,cmp);
for(int i=1;i<=n;++i) 
}ans=max(ans,frog[i][k]);
}printf(
"%d\n
",ans);
return0;
}

50分無優化

#include#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
using
namespace
std;
typedef 
long
long
ll;typedef 
long
double
ld;typedef pair
pr;const
double pi=acos(-1
);#define rep(i,a,n) for(int i=a;i<=n;i++)
#define per(i,n,a) for(int i=n;i>=a;i--)
#define rep(i,u) for(int i=head[u];i;i=next[i])
#define clr(a) memset(a,0,sizeof a)
#define pb push_back
#define mp make_pairld eps=1e-9
;ll pp=1000000007
;ll mo(ll a,ll pp)
ll powmod(ll a,ll b,ll pp)
ll read()
//head
#define n 110000ll f[
2][n];
pr a[n];
intn,k,nn,q[n];
ll b[n],c[n];
intmain()
rep(j,
0,n)f[0][j]=f[1][j],f[1][j]=-1000000
; }
printf(
"%d\n
",ans);
return0;
}

1、在需要前i個元素中最大值且i轉移單調時，考慮字首最大值而不是線段樹。這樣複雜度可以下降為o(1)。其實我就是資料結構學傻了

2、轉移區間滿足單調性時，考慮單調佇列優化。需要注意的是，單調佇列中單調的是元素下標而不是dp值。這不是廢話嗎

3、神仙題優化時可以畫圖考慮轉移位置，從而發現性質。

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