51nod 1239 尤拉函式之和 杜教篩

【題意】給定n，求σφ(i)，n<=10^10。

【演算法】杜教篩

【題解】

定義$s(n)=\sum_^\varphi(i)$

杜教篩$\sum_^(\varphi *i)(i)=\sum_^\sum_\varphi(d)=\sum_^\sum_^}\varphi(d)$

根據$id=\varphi*i$，$\sum_^(\varphi*i)(i)=\frac$

所以$s(n)=\frac-\sum_^s(\frac)$

然後遞迴進行即可，預處理前$n^}$項，則複雜度為o(n^(2/3))。

本質上是對於id=φ*i，其中i和id的字首和都可以直接計算，所以可以用杜教篩處理φ的字首和。

#include#include

#include
#include
#define ll long long
using
namespace
std;
const
int sq=100000,pre=5000000,mod=1e9+7,inv=(mod+1)/2
;int a[100010],phi[pre+5
],prime[pre],tot;
ll n;
bool vis[pre+5
];int
solve(ll n)
return a[n/n]=ans;
}int
main()
for(int j=1;j<=tot&&i*prime[j]<=pre;j++)
phi[i*prime[j]]=phi[i]*(prime[j]-1
); }
phi[i]=(phi[i]+phi[i-1])%mod;
}memset(a,-1,sizeof
(a));
printf("%d
",solve(n));
return0;
}

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