關於埃式篩法的極限優化

摘自

關於素數的普通篩法想必大家都清楚。使用乙個陣列vis[n],從2遍歷到n-1，每次碰到素數就把它的倍數剔除。這裡有三種手段可以大大降低埃式篩法的時間複雜度：

先發埃式篩法模板，假設初始化vis所有成員為0,0代表是素數，1代表不是素數：

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for(int i=2;i<=n;i++)6}
7 }

那麼首先會想到乙個問題，乙個合數如果有因數，那麼必定是成對存在，也就是篩子只用判斷其中乙個因數就可以了，比如15=3*5，在3的時候已經把15給篩掉了，何必去迴圈到5呢？於是優化如下，迴圈到根號n即可。

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for(int i=2;i*i<=n;i++)6}
7 }

接下來是第二重優化。第二層迴圈中不是從j=2i開始，每次增加乙個i，即剔除i的所有倍數嗎？試想一下，6是不是被2篩過了，此時碰到素數3又要篩一遍。而j從2i到i*i，即2倍到i倍的變化，在第一層迴圈中，2~i-1已經把他們的素數倍數篩完，所以結論如下：

第i個數只用篩從 i 乘 i 開始到n的每個數,而不用從 2 乘 i 開始

接下來優化**:

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for(int i=2;i*i<=n;i++)6}
7 }

第三重優化是乙個很小的改動與優化，在第二重迴圈中，每次增加素數的1倍，但除了2以外素數都是奇數，那麼奇數乘以偶數是偶數，偶數情況早已被2篩完，故每次增加2i倍.

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for(int i=2;i*i<=n;i++)8}
9 }