bzoj2876 Noi2012 騎行川藏

蛋蛋非常熱衷於挑戰自我，今年暑假他準備沿川藏線騎著自行車從成都前往拉薩。川藏線的沿途有著非常美麗的風景，但在這一路上也有著很多的艱難險阻，路況變化多端，而蛋蛋的體力十分有限，因此在每天的騎行前設定好目的地、同時合理分配好自己的體力是一件非常重要的事情。

由於蛋蛋裝備了一輛非常好的自行車，因此在騎行過程中可以認為他僅在克服風阻做功（不受自行車本身摩擦力以及自行車與地面的摩擦力影響）。某一天他打算騎

n段路，每一段內的路況可視為相同：對於第i段路，我們給出有關這段路況的3個引數 si , ki , vi' ，其中 si 表示這段路的長度，

ki 表示這段路的風阻係數， vi'

表示這段路上的風速（表示在這段路上他遇到了順風，反之則意味著他將受逆風影響）。若某一時刻在這段路上騎車速度為v，則他受到的風阻大小為 f =

ki ( v - vi' )2（這樣若在長度為s的路程內保持騎行速度v不變，則他消耗能量（做功）e = ki ( v - vi' )2 s）。

設蛋蛋在這天開始時的體能值是 eu ，請幫助他設計一種行車方案，使他在有限的體力內用最短的時間到達目的地。請告訴他最短的時間t是多少。

【評分方法】

本題沒有部分分，你程式的輸出只有和標準答案的差距不超過0.000001時，才能獲得該測試點的滿分，否則不得分。

【資料規模與約定】

對於10%的資料，n=1；

對於40%的資料，n<=2；

對於60%的資料，n<=100；

對於80%的資料，n<=1000；

對於所有資料，n <= 10000，0 <= eu <= 108，0 < si <= 100000，0 < ki <= 1，-100 < vi' < 100。資料保證最終的答案不會超過105。

【提示】

必然存在一種最優的體力方案滿足：蛋蛋在每段路上都採用勻速騎行的方式。

第一行包含乙個正整數n和乙個實數eu，分別表示路段的數量以及蛋蛋的體能值。接下來n行分別描述n個路段，每行有3個實數 si , ki , vi' ，分別表示第 i 段路的長度，風阻係數以及風速。

輸出乙個實數t，表示蛋蛋到達目的地消耗的最短時間，要求至少保留到小數點後6位。

3 10000

10000 10 5

20000 15 8

50000 5 6

12531.34496464

【樣例說明】一種可能的方案是：蛋蛋在三段路上都採用勻速騎行的方式，其速度依次為5.12939919, 8.03515481, 6.17837967。

正解：拉格朗日乘子法+二分答案。

zyt學長的題解：

其實這道題暴力還是挺簡單的，直接三分就行了。。

然而這道題我不知道怎麼求偏導數，我連偏導數是什麼都不知道，雖然我知道只有偏導數才是難點。。

拉格朗日乘子法可以解決如下問題：

在滿足$g(x1,x2,...)=c$（c為常數）的情況下，求出$f(x1,x2,...)$的最小值。

然後接下來的話不是人話：

我們可以發現，$f$取最值時，$f$和$g$的等高線相切。當等高線相切時$f$和$g$的梯度向量平行，也就是$\nabla f//\nabla g$。

然後梯度向量的每一維就對應$f$每一維的偏導數。具體表示見zyt學長部落格。。

我們求出偏導數以後，可以列出$n$個方程，再加上乙個約束，也就是$n+1$個方程。

如果忽略上面的步驟那麼這道題還是很容易的。。

於是最後的方程就是這樣：$2\lambda k_v_^(v_-}')=-1$

我們可以很容易發現，$v_$的下限是$v_^$，上限是每段路用$e$能量的速度（然而因為$s_$可能為$0$所以要用$inf$）。

所以，$k_v_^(v_-}')>0$，那麼$\lambda <0$。且隨$\lambda $增大，$v_$也增大；隨著$v_$增大，$e$增大，方程減小。

那麼思路就很明顯了，首先二分$\lambda$，然後再二分得出$v_$，每次二分$\lambda$時判斷能量總和是否超過$e$，每次二分$v_$時判斷方程是否滿足大於等於$1$。這樣，我們就能求出每個$v_$，算出答案了。

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2223
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2425
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