條件概率全概率公式 Tribles

條件概率，全概率公式，貝葉斯公式

條件概率：在另外乙個事件 b 已經發生的條件下，事件 a 發生的概率叫做在 a 對於 b 的條件概率，記作 $p(a|b)$。顯然$p(ab)=p(a|b)p(b)$。於是有：$p(a|b)=\frac$。

獨立事件：若事件 b 是否發生對事件 a 的概率沒有影響，即$p(a|b)=p(a)$，則稱事件 a, b 相互獨立 (為獨立事件)。將前面那個式子代入，可以發現若兩個事件a和b獨立，則$p(ab)=p(a)p(b)$。換句話說，就是當有a的時候，b事件發生的概率等於無a的時候發生的概率($\frac=\frac$)。用維恩圖來理解：

第一幅圖表示a，b獨立，即$p(ab)=p(a)p(b)$。而如果把b往內移動一點，顯然在有a事件發生的情況下，b事件發生的機率更大了($p(ab)/p(a)>p(b)/p(\omega)$)。因此a，b便不是獨立的了。把b往外移動一點也是如此。

注意獨立事件和互斥事件的概念不同。互斥表示$p(ab)=0$，獨立表示$p(ab)=p(a)p(b)$。也就是說，互斥表示兩個事件不能同時出現，獨立表示兩個事件沒有關係。兩個事件不能同時出現，表示兩個事件是有關係的，也就是說互斥一定不獨立。

完備事件組：若事件$a_1,a_2,...,a_n$滿足$(i)a_i\cap a_j=\emptyset\quad(ii)a_1\cap ...\cap a_n=\omega$，那麼它們就是完備事件組。

全概率公式可以輕鬆推出：$p(a)=\sum_^p(ab_i)=\sum_^p(a|b_i)p(b_i)$（相當於一張大餅）。也有一些特殊形式：$p(a)=p(ab)+p(a\bar)=p(a|b)p(b)+p(a|\bar)p(\bar)$。

有 n 個怪物，每只怪物只能活一天，但是每個怪物在那天有 pi 的概率繁殖 i 個怪物 (0 ≤ i < l，且$\sum_^p_i=1$)，求 (n 個怪物時為第 0 天) 第 m 天所有怪物都掛的概率。(m, l ≤ 1000)。

我們來看這道題：第m天所有怪物都掛的概率是第m天乙個怪物系（也就是乙個怪物和它的兒子）掛的概率的n次。以下討論在乙個怪物系中的情況：

記第k天所有怪物都掛的概率為$f_k$，可以知道$f_1$就是第0天啥都不繁殖的概率，即$f_1=p_0$

考慮k>1的情況，令事件a為所有怪物在第k天全掛，事件$b_i$為第0天怪物繁殖i個，可以看出$b_0, b_1, ..., b_$是$\omega$的乙個完備事件組。

可以看出，$p(b_i)=p_i$，事件$a|b_i$表示第一天有i個怪物，結果到第k天全掛了，相當於一直第0天有i個怪物，結果到第k-1天全掛了。這是乙個子問題，相當於$f_^i$！所以根據全概率公式可得：$$f_k=p(a)=\sum_p(a|b_i)p(b_i)=\sum_f_^ip_i$$

這個做法的精髓在於通過全概率公式發現重複子問題。

1 #include 2 using namespace std;
3 4 const int maxday=1005, maxbirth=1005;
5 int t, n, k, m;
6 double f[maxday], p[maxbirth];
7 8 int main()=\frac^np(a*b_i)}=\frac^np(a|b_i)p(b_i)}\)
 （好累twt……）
 注意最後面那個分數還可以約來著。

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