翻譯：羅朝輝 (
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平面方程
平面上的一點以及垂直於該平面的法線唯一定義了 3d 空間的乙個平面。
(圖一) 3d 空間的平面
在圖一中，給定法線向量
，以及平面上的一點 p1，對於平面上的任意一點 p ，我們可以在平面上定義乙個由 p1 指向 p 的向量：
因為法線
垂直於平面，它必定也垂直於位於平面上的向量
，因此它們的點積為 0 ：
以上就是平面方程的向量形式，下面我們來看代數形式的，通過點積計算，我們得到：
如果我們用
來替代上面表示式中的常數部分，就得到平面方程的代數形式：
如果法線是歸一化的，那麼平面方程中的常數表示式 d 就是原點到平面的距離。
（圖二）平面和歸一化法線
如圖二中，給定歸一化法線向量 (a1, b1, c1)，以及平面上的一點 p1 (da1, db1, dc1)，我們來推導原點到平面的距離 d。 將法線向量(a1, b1, c1) 和點 p1 代入平面方程，得到：
因此，我們可以用標準平面方程除以法線的模（法線長度）來計算原點到平面的距離。舉個例子，原點到以 (1, 2, 2) 為法線的平面（x + 2y + 2z - 6 = 0）的距離為 2，計算過程如下：
(圖三) 任意點到平面的距離
如圖三中，我們來推導空間中任意一點 p2 到平面的距離 d 的計算公式。p2 到平面的距離等於由 p1 指向 p2 的向量
在法線向量
上的投影。我們用點積來計算投影距離 d ：
展開分子
：代入前面的距離公式，得到最終的點到平面的距離公式：
觀察上面的式子，我們就可以發現距離 d 是將點 p2 代入平面方程中，再除以法線的模得到的。舉個例子，點(-1, -2, -3)到平面 x + 2y + 2z - 6 = 0 的距離為：
注意：距離是有符號的！它可以為負值，我們可以通過這個符號來決定點位於平面的哪一邊(d > 0，點在平面的正面-法線指向那一邊；d < 0，帶在平面的反面-法線相反方向的那一邊，當然 d = 0 就是在平面上啦！)。
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