時間複雜度

一直對時間複雜度的概念不弄明白，今天就總結來做筆記學習吧

時間複雜度是總運算次數表示式中受n的變化影響最大的那一項(不含係數)

(1)   for(i=1;i<=n;i++)   //迴圈了n*n次，當然是o(n^2)

for(j=1;j<=n;j++)
s++;
(2) for(i=1;i<=n;i++)//迴圈了(n+n-1+n-2+...+1)≈(n^2)/2，因為時間複雜度是不考慮係數的，所以也是o(n^2)
for(j=i;j<=n;j++)
s++;
(3) for(i=1;i<=n;i++)//迴圈了(1+2+3+...+n)≈(n^2)/2,當然也是o(n^2)
for(j=1;j<=i;j++)
s++;
(4) i=1;k=0;

while(i<=n-1)

//迴圈了

n-1≈n次，所以是o(n)

(5) for(i=1;i<=n;i++)

for(j=1;j<=i;j++)

for(k=1;k<=j;k++)

x=x+1;

//

迴圈了(1^2+2^2+3^2+...+n^2)=n(n+1)(2n+1)/6(這個公式要記住哦)≈(n^3)/3，不考慮係數，自然是o(n^3)

另外，在時間複雜度中，log(2,n)(以2為底)與lg(n)(以10為底)是等價的，因為對數換底公式：

log(a,b)=log(c,b)/log(c,a)

所以，log(2,n)=log(2,10)*lg(n),忽略掉係數，二者當然是等價的

常見的時間複雜度

按數量級遞增排列，常見的時間複雜度有：

常數階o(1),  對數階o(log2n),  線性階o(n),  線性對數階o(nlog2n),  平方階o(n^2)， 立方階o(n^3),...， k次方階o(n^k), 指數階o(2^n) 。

其中，

1.o(n)，o(n^2)， 立方階o(n^3),...， k次方階o(n^k) 為多項式階時間複雜度，分別稱為一階時間複雜度，二階時間複雜度。。。。

2.o(2^n)，指數階時間複雜度，該種不實用

3.對數階o(log2n),   線性對數階o(nlog2n)，除了常數階以外，該種效率最高

例：

while (count < n)

count = count * 2; /* 時間複雜度為o(1)的程式步驟序列 */

由於每次count乘以2之後，就距離n更近了一分。

也就是說，有多少個2相乘後大於n，則會退出迴圈。

由2x=n得到x=log2n。所以這個迴圈的時間複雜度為o(logn)。

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