01揹包精講

給定乙個物品集合s=，物品i具有重量wi和價值vi。揹包能承受能承受的最大載重量不超過w。揹包問題就是找到乙個物品子集s『屬於s，使得maxewi<=w。所謂01揹包就是物品要麼整個地選取，要麼不取。

首先我們先要肯定一件事，假設子問題(i,w)的最優裝載中含有物品i，則其中的子問題(i-1,w-wi)的裝載方案也一定是最優的。

證明:(反證法)假設子問題(i-1,w-wi)的裝載方案p不是最優的，則有乙個更優的裝載方案p』，將p』替換p然後在加上物品i將會比原來的最優裝載價值最大，與假設矛盾。

現設定乙個陣列v[i,w](i代表第幾個物品，w代表i物體的重量)表示將物品1到物品i的物品裝入載重量為w的揹包中所能獲得的最大價值，即子問題(i,w)的最大價值

(1)對於物品i能夠裝進揹包，則子問題（i,w）的最優解取決於物品i是否放進去

①如果物品i不放進去，則有v[i,w]=v[i-1,w]。就是說i不放進去，那麼容量為i的揹包的價值==容量為i-1的揹包的價值

②若將物品i放進去，則有v[i,w]=v[i-1,w-wi]+vi。若i放進去，那麼容量為i的揹包的價值==容量為i-1的揹包的價值加上第i個物品的價值

解析：相信大多數人都想不明白這句話的意思，若物品i能夠放進去，那麼一定是放進去後這個揹包的價值肯定大於沒放進去的價值大，這是錯誤的，假設有三個物品（1，1）

（2，3）（2，2）【（物品重量，價值）】，現我們規定揹包總重量限制於3，相信大家一眼就可以看出來，物品13的結合的價值沒有物品12結合的價值大，自然3不放的總價值大於放的總價值，12放進去後此時揹包容量已滿，但倘若物品3放進去，那麼揹包為了能夠容納3，它必將2剔除，所以說3不放的價值大於放的價值。

v[i-1,w-wi]，i-1自然是說i的前乙個物品的序列號，而w-w[i]是剛好滿足放置i物品容量的前乙個，這裡的前不乙個不是固定於下圖示的斜對前，而是前乙個物品的容量+當前i物品的容量剛好等於此時列舉到的w

現在為大家推一便演算法，就明白了。

前提大家要先明確一件事，01揹包演算法精髓就是掃，假設揹包容量為w，物品個數為n，那麼可以假定的認為乙個二維陣列，行為第幾個物品，第一行為第乙個物品，第二行為第二個

物品，第n行為第n個物品。列為容量的多少，第一列是容量為1的揹包，第二列是容量為2的揹包，第三列為3，第n列為n。

給一組資料，物品號

wivi12

122110

33204

215揹包演算法如下的**所示01

2345

10012

1212122

0101222

222230

1012

2230324

0101525

3037

解析：1.第1個[2,12]物品，揹包容量為1時，2>1它進不了揹包,揹包容量為2時，剛好夠物品容量則進入揹包，所以揹包容量最大價值為12;揹包容量為3，4，5時1號物品都可以進入揹包，所以價值均為12。

2.第2個[1,10]物品，揹包容量為1時，它的前乙個物品c[1][1-1]=0+10(放進第二個物品的價值)=10大於不放，所以放；揹包容量為2時，對於前乙個揹包c[2-1][2-1]=0+12大於它的前乙個容量的價值c[1][2]，所以此時對於前一階段要放置2號物品

揹包容量為3，對於前一物品c[2-1][3-1]=12,若放2號物品，則12+10>不放，所以放，而對於揹包容量都為4,5時，都是放置2號物品的價值大於不放，所以都放

3.第3個[3,20]物品，揹包容量為1，2時，w[3]均大於揹包容量，所以不放，承接前一物品揹包容量1,2的價值；當揹包容量為3的時候，此時c[3-1][0]+20(放)，小於放置物品1,2的價值，所以3不放，放1,2；而對於揹包容量為4的時候，c[2][1]=10（這個說明減去放置物品3的容量，此時揹包中還剩下物品1）+20=30,此時的價值大於放1,2,，則放置1,3。。。。。

4.同理

view code

int c[10][100];/*
對應每種情況的最大價值
*/int knapsack(int m,int n)//
m是價值的限制,n是物品的個數
else c[i][j]=c[i-1
][j];
}return
(c[n][m]);
}

一維陣列的

view code

for(i=1;i1;i++)
} for(i=sum;i>=0;i--)//
輸出 }

01揹包精講

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揹包問題精講2018 08 09

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