定義：
若 $a\cdot\equiv 1\pmod, a \perp p$,
就說 $k$ 是 $a$ 模 $p$ 的乘法逆元. 記為 $k = a^$.
我個人習慣用 $ie(a)$ 表示 $a$ 模某數的逆元. ($inverse$ $element$)
性質：
$\frac\equiv a\cdot } \pmod, b \mid a.$
證明: $\frac \bmod p = \frac\cdot b \cdot b^(-1) \bmod p$, 化簡得 $\frac mod p = a\cdot b^(-1) \bmod p$.
$ie(x)$ 是積性函式
證明: 設 $x$ 是 $a$ 關於 $p$ 的逆元, $y$ 是 $b$ 關於 $p$ 的逆元, 即 $xa \bmod p = yb \bmod p = 1$, 則
$xayb \equiv 1 \pmod p$
$(ab)\cdot (xy) \bmod p = 1$
即 $xy$ 是 $ab$ 關於模 $p$ 的逆元, 即 $ie(ab) = xy = ie(a)\cdot ie(b)$.
$a^ = a^$
證明: 先證明 $a^(p-1) \equiv 1 \pmod p$.
首先, $a, 2a, 3a, ..., (p-1)a$，這些數 $\bmod p$ 的值互不相同.
用反證法可以證明: 假設 $i\cdot a\equiv j\cdot a \pmod p (1 \leq i, j \leq p)$, 設 $i \geq j$, 則 $(i-j)\cdot a \bmod p = 0$, 由於 $a$ 與 $p$ 互質, 可以得到 $i-j$ 是 $p$ 的倍數, 又 $i-j < p$, 矛盾, 所以假設不成立.
由上述結論可知, $a, 2a, 3a, ..., (p-1)a \bmod p$ 的值與 $0, 1, 2, ..., p-1$ 一一對應(不一定按順序對應), 將這些數相乘可以得到 $(p-1)!\cdot a^ \equiv \pmod p$, 兩邊消去 $$, 得到 $a^ \equiv 1 \pmod p$.
又 $a^ = a \cdot a^$, 所以 $a \cdot a^ \equiv a\cdot a^ \pmod p$，即 $a^=a^$.
應用：
見 prime 一題。
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