【題意】
給出n條連續線段，每條線段都有長度為x[i]，我們可以把連續若干條線段連在一起，變成乙個組合，兩條線段如果相連，就要在兩條線段中間新增乙個長度為1的格仔（如果沒有相連就不用新增），假如我們現在選擇把第i條到第j條線段之間的所有線段變成一組合的話，這個組合的總長度就為：x[i]+x[i+1]+x[i+2]+x[i+3]+...+x[j]+j-i，現在給出乙個常數l，假設當前選擇的組合的長度為s，那麼這個組合就為我們產生了(s-l)^2的費用，求出把n條線段分成若干組合所需要的最小費用，單獨的線段可以成為乙個組合
【輸入檔案】
第一行兩個整數，分別為n和l。
下來n個數字xi，按編號從小到大輸入每個物品的容量。
1<=n<=50000,1<=l，xi<=10^7
【輸出檔案】
乙個整數，總花費的最小值。
【樣例輸入】
5 43 4 2 1 4
【樣例輸出】
1斜率優化其實就是乙個用來優化dp的演算法，但必須當dp方程具有單調性的時候才能使用
下來我們用例題來說明斜率優化
f[i]表示1~i的最小花費。
f[i]=min(f[j]+(sum[i]-sum[j]+i-(j+1)-l)^2) (j
首先我們先來證明決策單調性
假設j1
即要滿足：f[j2]+(s[i]-s[j2]-l)^2
則對於i後的所有狀態t，是否j2也不比就j1差？（術語：證明決策單調性）
即f[j2]+(s[t]-s[j2]-l)^2 < f[j1]+(s[t]-s[j1]-l)^2
容易理解s[t]=s[i]+v
所以得到（1）不等式：f[j2]+(s[i]-s[j2]-l+v)^2
因為已知（2）不等式：f[j2]+(s[i]-s[j2]-l)^2
所以化簡（1）不等式：把s[i]-s[j2]-l看成乙個整體，v看成乙個整體，得到：
f[j2]+(s[i]-s[j2]-l)^2+2*v*(s[i]-s[j2]-l)+v^2
比較（2）不等式：
左邊多了一部分：2*v*(s[i]-s[j2]-l)+v^2
右邊多了一部分：2*v*(s[i]-s[j1]-l)+v^2
所以我們只需要證：
2*v*(s[i]-s[j2]-l)+v^2<=2*v*(s[i]-s[j1]-l)+v^2
即：(s[i]-s[j2]-l)<=(s[i]-s[j1]-l)
即： -s[j2] <= -s[j1]
即：s[j1]
總結：對於當前i：j2比j1好，那麼對於t(i
所以當前i選擇j2，淘汰j1，以後的t也不會在j2存在的時候選擇j1
所以i的時候就可以永久淘汰j1
然後來求斜率方程
因為f[j2]+(s[i]-s[j2]-l)^2<=f[j1]+(s[i]-s[j1]-l)^2
展開:f[j2]+(s[i]-l)^2-2*(s[i]-l)*s[j2]+s[j2]^2<=f[j1]+(s[i]-l)^2-2*(s[i]-l)*s[j1]+s[j1]^2
即f[j2]-2*(s[i]-l)*s[j2]+s[j2]^2<=f[j1]-2*(s[i]-l)*s[j1]+s[j1]^2
即f[j2]+s[j2]^2-2*(s[i]-l)*s[j2]<=f[j1]+s[j1]^2-2*(s[i]-l)*s[j1]
即[(f[j2]+s[j2]^2)-(f[j1]+s[j1]^2)]<=2*(s[i]-l)*s[j2]-2*(s[i]-l)*s[j1]
即[(f[j2]+s[j2]^2)-(f[j1]+s[j1]^2)]/(s[j2]-s[j1])<=2*(s[i]-l)
對於j來說：
製造的點座標
y=f[j]+s[j]^2
x=s[j]
我們用佇列list在存有意義的決策點，list中相鄰兩點的斜率遞增（佇列中的點形成乙個下凸殼），而且都大於2*(s[i]-l)，那麼佇列頭對於i來說就是最優決策點
加入決策i時，令隊尾為list[tail]，前乙個為list[tail-1]
斜率函式slop（點1，點2）
滿足:slop(list[tail-1],list[tail])>slop(list[tail],i)時，
那麼隊尾list[tail]在三者（list[tail-1],list[tail],i）對於未來的tail絕對不會是最優的策略，所以將其彈出tail--
最後遇到了：slop(list[tail-1],list[tail])
然後f[n]就是答案了
#include#include#include
#include
using
namespace
std;
typedef
long
long
ll;ll a[
51000],s[51000],f[51000
];/*
f[i]=min(f[j]+(sum[i]-sum[j]+i-j-1-l)^2)
f[i]=min(f[j]+(s[i]-s[j]-l)^2)
f[j2]+(s[i]-s[j2]-l)^2<=f[j1]+(s[i]-s[j1]-l)^2
f[j2]+(s[i]-l)^2-2*s[j2]*(s[i]-l)+s[j2]^2<=f[j1]+(s[i]-l)^2-2*s[j1]*(s[i]-l)+s[j1]^2
f[j2]+s[j2]^2-2*s[j2]*(s[i]-l)<=f[j1]+s[j1]^2-2*s[j1]*(s[i]-l)
f[j2]-f[j1]+s[j2]^2-s[j1]^2<=2*s[j2]*(s[i]-l)-2*s[j1]*(s[i]-l)
f[j2]-f[j1]+s[j2]^2-s[j1]^2<=2*s[j2]*(s[i]-l)-2*s[j1]*(s[i]-l)
(f[j2]-f[j1]+s[j2]^2-s[j1]^2)/(s[j2]-s[j1])<=2*(s[i]-l)
*/double slop(int j1,int
j2)int list[51000];int
head,tail;
intmain()
printf(
"%lld\n
",f[n]);
return0;
}
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