演算法入門單調佇列

現在，kuaid有一台電腦，他要完成乙個任務。他拿到了乙個只有10個數字的序列和兩個數字\(x,y\)，數列會完整的顯示在電腦螢幕上，他要找出區間\([x,y]\)之間的最小值，由於kuaid懶得很，他決定寫**解決這個問題

kuaid沉思了一會，決定簡單（粗暴）地解決這個問題，讀入整個序列，從\(x\)到\(y\)一一遍歷，隨時更新就行了，於是他寫出了下面的**：

#include #include #define max 0x3ffffff
using namespace std;
int a[11],x,y,minn = max;
int main()

kuaid很輕易的解決了問題，但是他還有很充足的時間，他開始了胡思亂想。

「我又沒有更能裝13，或者更麻煩（？）的解決方法呢？」

他拿出了乙個資料，開始嘗試用乙個佇列解決，數列為：\(7,6,8,12,9,10,3,1,5,6\);\(x=3,y=7\);

考慮每乙個數時，先判斷是否在範圍之內，若在範圍中，將它與隊中元素比較，隊中比這個數大的都出隊，這個數由於出現晚，且必在範圍內，將他入隊（此時kuaid覺得這樣更加麻煩了，但他還是想分析下去）。

考慮第1個數：7，但7並不在要求的範圍內，忽略，此時隊列為空

考慮第2個數：6，但6並不在要求的範圍內，忽略，此時隊列為空

考慮第3個數：8，此時8在範圍內，且隊中為空，於是將8入隊，此時隊列為\(\\)

考慮第4個數：12，佇列中8比12小，但12出現的晚，於是將12入隊，此時隊列為\(\\)

考慮第5個數：9，佇列中12比9大，於是將12出隊，9入隊，此時隊列為\(\\)

考慮第6個數：10，佇列中8，9比10小，但10出現的晚，於是將10入隊，此時隊列為\(\\)

考慮第7個數：3，佇列中8,9,10都比3大，於是將8,9,10出隊，3入隊，此時隊列為\(\\)

後面的數超出了範圍，必定都不入隊，kuaid發現，佇列中總是乙個單調上公升佇列，且隊首元素即為當前範圍內的最小值，故答案為3，kuaid停止了思考，寫出了以下**：

#include #include using namespace std;
int a[11],x,y,q[11];
int main()
cout << q[head];
return 0;
}

kuaid剛打完**，新的任務就到了，他拿到了一張，上有乙個長度為\(n\)的數列，由於顯示比例問題，kuaid的電腦螢幕只能同時顯示\(k\)個數，不知為何，並沒有給出讓kuaid求什麼。

kuaid想了想，看時間還充沛，決定自己給自己出乙個任務，當他從左向右檢視時，每一時刻向後檢視乙個數，此時螢幕最左邊的數會被隱藏，他想求出每一時刻螢幕上的最大值和最小值(kuaid有一些特殊的手段能瞬間從中得到所需的資訊)

kuaid並不想耗費太多的腦力，所以他決定使用暴力的方法，對狀態進行列舉；

片刻之後，他得到了以下**：

#includeusing namespace std;
int n,k;
int a[3000003];
int f[3000003];
int main() 
cout << minx << " ";
f[++ tot] = maxn;
} cout << endl;
for(int i = 1;i <= tot;i ++)
cout << f[i] << " ";
return 0;
}

kuaid用上面的**完成了幾個資料的處理，可是他發現，這樣的時間複雜度為\(o(n \cdot k)\)，在處理大資料時會花費掉他很多時間，甚至耽擱他過會兒的行程，kuaid可不想打亂自己看學習資源的計畫。kuaid開始思考優化。

kuaid突然想到了自己無聊時的想法，能不能用佇列進行優化？

在求最小值時，考慮每乙個數，將它與隊中元素比較，隊中比這個數大的都出隊（在當前範圍內，比這個數大的一定不是該範圍的最小值），這個數由於出現晚，即使比現在隊伍中的數大，但會在螢幕上持續出現更久（這個數會出現在後面的範圍），所以必須將他入隊，若當前隊首已出螢幕可檢視的範圍，將其出隊，那麼這個佇列一定是單調遞增的，這樣得到的隊首，不正是該區間的最小值嗎？

求最大值同理

如何判斷當前隊首是否超出範圍呢？每個數有乙個編號，為\(1,2,...,n\),當前考慮的是第\(i\)個數，當第\(i\)個數進入螢幕後，最左側為第\(i-k+1\)個數，也就是說，如果當前隊首的編號小於等於\(i-k\)，這個數必定是超出範圍的。

於是，他得到了以下**：

#include #include #define max 2000005
using namespace std;
struct num;
int a[max]; //原數列
num q[max]; //佇列
int main()
} cout << endl;
front = 1;
back = 0; //記得需要清空佇列
for (int i = 1;i <= n;i ++)
} return 0;//完美結束
}

通過計算發現這樣的時間複雜度竟然只有\(o(n)\)!

kuaid定睛一看，這不就是單調佇列嗎！

以這個資料為例：\(n=8,k=3\)

\(a=\\)

則有下列**：

思考求最小值時，為什麼佇列中的數是單調遞增的。我們發現，當新考慮乙個數時，佇列中比它大的數都會出隊，因而在這個數之前的佇列中的所有數都比它小，由於每次最多只有乙個數出界，也就只用判斷一次隊首元素編號

如上面所說，在求最小值時，考慮每乙個數，將它與隊中元素比較，隊中比這個數大的都出隊（在當前範圍內，比這個數大的一定不是該範圍的最小值），這個數由於出現晚，即使比現在隊伍中的數大，但會在螢幕上持續出現更久（這個數會出現在後面的範圍），所以必須將他入隊，若當前隊首已出螢幕可檢視的範圍，將其出隊，那麼這個佇列一定是單調遞增的，這樣得到的隊首，正是該區間的最小值

單調佇列的使用並不廣泛，但對於某些題目有特別的效果

以上是本人無知時提出的暴論。。。單調佇列對某些 dp 具有很好的優化效果

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