數字三角形(poj1163)
description
73 8
8 1 0
2 7 4 4
4 5 2 6 5
在上面的數字三角形中尋找一條從頂部到底邊的路徑，使得
路徑上所經過的數字之和最大。路徑上的每一步都只能往左下或
右下走。只需要求出這個最大和即可，不必給出具體路徑。
三角形的行數大於1小於等於100，數字為 0 - 99
輸入格式：
5 //三角形行數。下面是三角形
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要求輸出最大和
sample output
30source
ioi 1994
解題思路：
用二維陣列存放數字三角形。
d( r, j) : 第r行第 j 個數字(r,j從1開始算)
maxsum(r, j) : 從d(r,j)到底邊的各條路徑中，
最佳路徑的數字之和。
問題：求 maxsum(1,1)
典型的遞迴問題。
d(r, j)出發，下一步只能走d(r+1,j)或者d(r+1, j+1)。故對於n行的三角形：
if ( r == n)
maxsum(r,j) = d(r,j)
else
maxsum( r, j) = max + d(r,j)
改進如果每算出乙個maxsum(r,j)就儲存起來，下次用
到其值的時候直接取用，則可免去重複計算。
遞迴轉成遞推
「人人為我」遞推型動歸 pascal**
1 //by lyltim2 3uses math;
4var
n,i,j:byte;
5 a:array[1..10,1..10]of
word;
6 f:array[1..10,1..10]of
word;
7begin
8 assign(input,'
tower.in
');reset(input);
9 assign(output,'
tower.out
');rewrite(output);
10readln(n);
11for i:=1
to n do
12begin
13for j:=1
to i do
14read(a[i,j]);
15readln;
16end
;17 fillchar(f,sizeof(f),0
);18
for i:=1
to n do f[n,i]:=a[n,i];
19for i:=n-1
downto1do
20for j:=1
to i do
21 f[i,j]:=max(f[i+1,j],f[i+1,j+1])+a[i,j];
22 writeln('
max=
',f[1,1
]);23
close(input);close(output);
24end.
空間優化
沒必要用二維maxsum陣列儲存每乙個maxsum(r,j),只要從底層一行行向上
遞推，那麼只要一維陣列maxsum[100]即可,即只要儲存一行的maxsum值就
可以。進一步考慮，連maxsum陣列都可以不要，直接用d的
第n行替代maxsum即可。
節省空間，時間複雜度不變
遞推+空間優化 c++**
1//by lyltim2//
2015.2.11
3 #include 4 #include 5
using
namespace
std;
6int
main()
7
遞迴到動規的一般轉化方法
遞迴函式有n個引數，就定義乙個n維的陣列，陣列
的下標是遞迴函式引數的取值範圍，陣列元素的值
是遞迴函式的返回值，這樣就可以從邊界值開始，
逐步填充陣列，相當於計算遞迴函式值的逆過程。
動規解題的一般思路
1. 將原問題分解為子問題
把原問題分解為若干個子問題，子問題和原問題形式相同
或類似，只不過規模變小了。子問題都解決，原問題即解
決(數字三角形例）。
子問題的解一旦求出就會被儲存，所以每個子問題只需求
解一次。
2. 確定狀態
在用動態規劃解題時，我們往往將和子問題相
關的各個變數的一組取值，稱之為乙個「狀
態」。乙個「狀態」對應於乙個或多個子問題，
所謂某個「狀態」下的「值」，就是這個「狀
態」所對應的子問題的解。
所有「狀態」的集合，構成問題的「狀態空間」。「狀態
空間」的大小，與用動態規劃解決問題的時間複雜度直接相關。
在數字三角形的例子裡，一共有n×(n+1)/2個數字，所以這個
問題的狀態空間裡一共就有n×(n+1)/2個狀態。
整個問題的時間複雜度是狀態數目乘以計算每個狀態所需
時間。在數字三角形裡每個「狀態」只需要經過一次，且在每個
狀態上作計算所花的時間都是和n無關的常數。
用動態規劃解題，經常碰到的情況是，k個整型變數能
構成乙個狀態（如數字三角形中的行號和列號這兩個變數
構成「狀態」）。如果這k個整型變數的取值範圍分別是
n1, n2, ……nk，那麼，我們就可以用乙個k維的陣列
array[n1] [n2]……[nk]來儲存各個狀態的「值」。這個
「值」未必就是乙個整數或浮點數，可能是需要乙個結構
才能表示的，那麼array就可以是乙個結構陣列。乙個
「狀態」下的「值」通常會是乙個或多個子問題的解。
3. 確定一些初始狀態（邊界狀態）的值
以「數字三角形」為例，初始狀態就是底邊數字，值
就是底邊數字值。
4. 確定狀態轉移方程
定義出什麼是「狀態」，以及在該 「狀態」下的「值」後，就要
找出不同的狀態之間如何遷移――即如何從乙個或多個「值」已知的
「狀態」，求出另乙個「狀態」的「值」(「人人為我」遞推型)。狀
態的遷移可以用遞推公式表示，此遞推公式也可被稱作「狀態轉移方
程」。能用動規解決的問題的特點
1) 問題具有最優子結構性質。如果問題的最優解所包含的
子問題的解也是最優的，我們就稱該問題具有最優子結
構性質。
2) 無後效性。當前的若干個狀態值一旦確定，則此後過程
的演變就只和這若干個狀態的值有關，和之前是採取哪
種手段或經過哪條路徑演變到當前的這若干個狀態，沒
有關係。
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