最長公共子串行問題 最長公共子串問題 動態規劃

longest common subsequence problem

序列x和y，找到z為x和y的最大公共子串行

蠻力列舉

從x的長度為1序列開始列舉，在y中查詢是否有該序列

列舉觀察，長度為x-1的子串行是長度為x的子串行的一部分

存在最優子結構和重疊子問題，適合動態規劃

1、問題結構分析

c[i,j]記錄x[1..i]和y[1..j]的最長公共子串行長度

2、通過考察末尾元素來尋找遞推關係

有xi=yj和xi≠yj兩種情況

xi≠yj時,c[i,j]= max(c[i-1,j],c[i, j-1])

xi=yj時,c[i,j]=max(c[i-1, j-1]+1,c[i-1, j],c[i,j-1])

由於c[i-1, j-1]+1>=max

則 xi=yj時,c[i,j]= c[i-1, j-1]+1

3、自底向上計算：確定計算順序

初始化 c[i,0]=c[0,j]=0

遞推公式 得出計算順序自上而下自左而右

4、追蹤陣列rec[i,j]=lu / u/ l

時間複雜度o(n*m),n、m分別為序列x、y的長度

#include#define max 1000

intx[max], y[max], z[max][max], rec[max][max]; 
intxl, yl;
intlongestsub()
else
if(z[i-1][j]>=z[i][j-1
]) 
else}}
return
z[xl][yl];
}void printsub(int i, int
j) 
else
if(rec[i][j]==2) printsub(i-1
, j);
else printsub(i, j-1);}
intmain()

longest common substring problem

蠻力列舉觀察知

存在最優子結構和重疊子問題，適用動態規劃

c[i,j]表示x[1..i]和y[1..j]中，以 xi和yj結尾的最長公共子串 z[1..l]的長度

xi≠yj時，c[i][j]=0

xi=yj時，c[i][j]=c[i-1][j-1]+1

初始化 c[i,0]=c[0,j]=0

遞推式自上而下自左而右計算

追蹤最優方案

最長公共子串末尾位置pmax，最長公共子串長度lmax

#include#define max 1000

intx[max], y[max], c[max][max];
int xl, yl, pmax=0, lmax=0
;void
longestsubstr()
}else c[i][j]=0
; } 
}return;}
intmain() 

最長公共子串行 最長公共子串

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