像大部分虛樹介紹一樣，以一道 爛大街 的例題 [sdoi2011]消耗戰 引入：
給定一棵大小為 \(n\) 的樹，每條邊有邊權，\(m\) 組詢問，每次詢問給定 \(k\) 個關鍵點，要求切斷 \(1\) 與所有關鍵點的路徑，求最小代價。
\(2 \leq n \leq 2.5 \times 10^5\)，\(m \geq 1\)，\(\sum \leq 5 \times 10^5\)，\(1 \leq k \leq n - 1\)
設 \(f_u\) 表示切斷 \(u\) 與其子樹中所有關鍵點的最小代價。
設 \(w_\) 表示邊 \((u, v)\) 的權值。
列舉 \(u\) 的兒子 \(v\)，轉移分為兩類：
樸素做法的時間複雜度為 \(o(nq)\)，並過不掉這題，所以我們需要進行優化。
可以注意到，我們浪費的很多時間 \(dp\)非關鍵點，並且關鍵點的總數是與 \(n\) 同階的，所以考慮能否濃縮資訊，大樹變小。
這時引出虛樹的概念。
直觀的感受一下：
選取不同關鍵點，建出來的虛樹如下所示：
（以上圖** oi wiki）
任意兩個關鍵點的 \(lca\) 也需要儲存重要資訊，我們需要將其保留，所以虛樹中不一定只包含關鍵點。
以及我們可以發現，虛樹中祖先後代關係並不會改變。
接下來直接搬運一波建樹方法：
首先很直觀的，可以將所有關鍵點按 \(dfs\) 序排序，遍歷一遍，兩兩間求求 \(lca\)，判判重，連連邊，就建完啦！（逃）
樸素演算法複雜度較高，考慮單調棧，單調棧的作用是：維護虛樹上的一條鏈。
為了方便，首先將根節點加入棧中，然後按 \(dfs\) 序遍歷關鍵點：
若當前點 \(u\) 與棧頂節點的 \(lca\) 是棧頂節點，那麼說明 \(u\) 與棧中節點在一條鏈上，直接將 \(u\) 壓入棧中
若 \(lca\) 不是棧頂節點，
需注意一些細節：
退棧時，一般棧頂節點在虛樹中的父親為第二節點，但是最後彈出的棧頂節點的父親為 \(lca\) （注意我們最後把 \(lca\) 加入棧中了）；
如例題，我們需要多次建虛樹，則每次需要清空存圖的陣列，一般在節點入棧時清空即可（如鄰接表，前向行 \(head\) 陣列等）；
如例題，每一條虛樹中的邊（或點）可能濃縮的原樹中幾條邊的資訊，所以我們有時需要先求出濃縮資訊，然後在連邊賦上。例題中我用了倍增的方法在連邊時 \(logn\) 求出一條虛樹上邊的權值（其實就是幾條原樹邊取個 \(min\)）。
對於例題，建出虛樹後，直接在上面跑樸素 \(dp\) 就可以啦！
\(code\)
#include #include #include using namespace std;
#define n 1000000
#define l 19
#define fo(i, u) for(int i = head[u]; i; i = edge[i].next)
#define fo(i, x, y) for(int i = x, end_##i = y; i <= end_##i; ++ i)
#define fd(i, x, y) for(int i = x; i >= y; i --)
typedef long long ll;
void read(int &x)
struct edge edge[n << 1];
int head[n + 1], pre[n + 1][l + 1], g[n + 1][l + 1], sta[n + 1], dfn[n + 1], a[n << 1], dep[n + 1], key[n + 1];
ll f[n + 1];
int n, m, len, now = 0;
int cnt_edge = 1;
void add(int u, int v, int w) , head[u] = cnt_edge; }
void link(int u, int v, int w)
void input()
int tot_dfn = 0;
void dfs1(int u, int la)
void init()
bool cmp(int x, int y)
int get_lca(int u, int v)
int get_dis(int u, int v)
ll min(ll a, ll b)
void build()
sta[ ++ top ] = a[i], head[a[i]] = 0;
}fo(i, 1, top - 1)
add(sta[i], sta[i + 1], get_dis(sta[i + 1], sta[i]));
}void dfs2(int u)
}void solve()
int main()
return 0;
}
待補充......
虛樹 Virtual Tree 學習筆記
description 在一場戰爭中，戰場由n個島嶼和n 1個橋梁組成，保證每兩個島嶼間有且僅有一條路徑可達。現在，我軍已經偵查到敵軍的總部在編號為1的島嶼，而且他們已經沒有足夠多的能源維繫戰鬥，我軍勝利在望。已知在其他k個島嶼上有豐富能源，為了防止敵軍獲取能源，我軍的任務是炸毀一些橋梁，使得敵軍不...
日常學習 Virtual Tree 虛樹）
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學習筆記 雜湊學習筆記
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