多重揹包問題 III

演算法1

(單調佇列優化) o(nv)

一共是n類物品，揹包的容量是m

每類物品的體積為v, 價值為w，個數為s

我們先來回顧一下傳統的dp方程

dp[i][j] 表示將前 i 種物品放入容量為 j 的揹包中所得到的最大價值

dp[i][j] = max(不放入物品 i，放入1個物品 i，放入2個物品 i, ... , 放入k個物品 i)
這裡 k 要滿足：k <= s, j - k*v >= 0
不放物品 i = dp[i-1][j]
放k個物品 i = dp[i-1][j - k*v] + k*w
dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-v] + w, dp[i-1][j-2*v] + 2*w,..., dp[i-1][j-k*v] + k*w)

我們令 dp[j] 表示容量為j的情況下，獲得的最大價值

那麼，針對每一類物品 i ，我們都更新一下 dp[m] --> dp[0] 的值，最後 dp[m] 就是乙個全域性最優值

dp[m] = max(dp[m], dp[m-v] + w, dp[m-2*v] + 2*w, dp[m-3*v] + 3*w, ...)

接下來，我們把 dp[0] --> dp[m] 寫成下面這種形式

dp[0], dp[v],   dp[2*v],   dp[3*v],   ... , dp[k*v]

dp[1], dp[v+1], dp[2*v+1], dp[3*v+1], ... , dp[k*v+1]
dp[2], dp[v+2], dp[2*v+2], dp[3*v+2], ... , dp[k*v+2]
...dp[j], dp[v+j], dp[2*v+j], dp[3*v+j], ... , dp[k*v+j]

所以，我們可以把 dp 陣列分成 j 個類，每一類中的值，都是在同類之間轉換得到的

也就是說，dp[kv+j] 只依賴於

因為我們需要的是中的最大值，

可以通過維護乙個單調佇列來得到結果。這樣的話，問題就變成了 j 個單調佇列的問題

所以，我們可以得到

dp[j]    =     dp[j]

dp[j+v] = max(dp[j] + w, dp[j+v])
dp[j+2v] = max(dp[j] + 2w, dp[j+v] + w, dp[j+2v])
dp[j+3v] = max(dp[j] + 3w, dp[j+v] + 2w, dp[j+2v] + w, dp[j+3v])
...

dp[j]    =     dp[j]

dp[j+v] = max(dp[j], dp[j+v] - w) + w
dp[j+2v] = max(dp[j], dp[j+v] - w, dp[j+2v] - 2w) + 2w
dp[j+3v] = max(dp[j], dp[j+v] - w, dp[j+2v] - 2w, dp[j+3v] - 3w) + 3w
...

1）維護佇列元素的個數，如果不能繼續入隊，彈出隊頭元素

2）維護佇列的單調性，即：尾值 >= dp[j + kv] - kw

本題中，佇列中元素的個數應該為 s+1 個，即 0 -- s 個物品 i

c++ **

#include #include using namespace std;

const int n = 20010;
int dp[n], pre[n], q[n];
int n, m;
int main() }}
cout << dp[m] << endl;
return 0;
}

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