研究過程中常用到能量極小化的思想，相當於泛函的極值問題。求解可以使用變分法，因此變分法的關鍵定理euler-lagrange方程是經典的能量極小化的求解方法。[其他還有哪些方法??]
[**wiki] 尤拉-拉格朗日方程對應於泛函的臨界點。在尋找函式的極大和極小值時，在乙個解附近的微小變化的分析給出一階的乙個近似。但是它並不能分辨是找到了最大值或者最小值或者兩者都不是。在理想的情形下，函式的極大值及極小值會出現在其導數為0的地方，同樣的，求解變分問題時也可以先求解相關的尤拉-拉格朗日方程。方程的具體形式 ：
第一方程：
若$\vec'(x)\in(c^1[a, b])^n$，使得泛函 $j(\vec)=\int_a^bf(x, \vec, \vec')dx$ 取得區域性平穩值，則在區間 $(a,\ b)$ 內對於所有的 $ i=1,\ 2,\ \ldots,\ n$ ，皆有:
$\frac\fracf(x, \vec, \vec')=\fracf(x, \vec, \vec')$
第二方程：
設 $f=f(x,\ y,\ z)$ ，及 $f_y,\ f_z$ 在 $[a,\ b]\times\mathbb^2$ 中連續，若 $y\in c^1[a,\ b]$ 使得泛函 $j(y)=\int_a^b f(x, y(x), y'(x))dx$ 取得區域性平穩值，則存在一常數 $c$ ，使得:
$f(x, y, y')-y'(x)f_(x, y, y')=\int_a^x f_x(x(t), y(t), y'(t))dt+c$
注意，尤拉-拉格朗日方程式極值的必要條件，並非充分條件。
解釋一下為什麼可以使用變分法來求解能量極小的問題。這是由於，當能量函式包含微分時，可以用變分方法推導其證明過程。簡單的說，證明思路是：假設當前的函式（即真實解）已知，那麼這個解必然使能量函式取全域性最小值。換言之，在此真實解上加入任何擾動，都會使能量函式變大。當擾動的能量趨於0時，能量函式關於擾動的導數就是0.關鍵問題是擾動如何表示，才能便於上述過程的實現呢？答案就是擾動被表示成乙個幅度很小的連續函式乘以乙個擾動因子a,當a趨於0時意味著擾動的能量趨於0，這時能量泛函對a求導等於0就等價於能量泛函對擾動求導等於0。不得不承認這時乙個非常絕妙的問題轉化，把對函式的求導變為對單變數的求導。然後再利用變分運算元的基本引理，就可以證明了。[維基百科有詳細的證明?? 沒找到]
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