【模板】拉格朗日插值
拉格朗日插值法：$$f(x) = \sum\limits_^^{}}^{}}}$$
我們先把右邊那部分提出來看：$$\ell (x):=\prod }^}}-x_}}=)}-x_)}}\cdots })}-x_})}}})}-x_})}}\cdots })}-x_})}}$$
舉個例子吧：有二次函式上的三點\(f(4)=10,f(5)=5.25,f(6)=1\),求\(f(18)\)
求出三個基本式：
\[\ell _(x)=}\ell _(x)=}\ell _(x)=}
\]即：
\[\beginp(x)&=f(4)\ell _(x)+f(5)\ell _(x)+f(6)\ell _(x)\\
&=10\cdot }+5.25\cdot }+1\cdot }\\
&=}(x^-28x+136)\end\]
對於給定的k+1個點：\((x_,y_),\ldots ,(x_,y_)\)
拉格朗日插值法的思路是找到乙個\((\)在一點\(x_\)取值為\(1\)，而在其他點取值都是\(0\)的\()\)多項式\(\ell _(x)\)
這樣，多項式\(y_\ell _(x)\)在點\(x_\)取值為\(y_\)，而在其他點取值都是\(0\)
而多項式\(l(x):=\sum _}^}y_\ell _(x)\)就可以滿足
\[l(x_)=\sum _}^}y_\ell _(x_)=0+0+\cdots +y_+\cdots +0=y_
\]而我們怎麼找到\(\ell _(x)\)呢？
在其它點取值為0的多項式容易找到，由於假定\(x\)兩兩互不相同，故只有當\(x=x_j\)時上面的取值才不等於\(0\)：
\[\begin\\
&(x-x_)\cdots (x-x_})(x-x_})\cdots (x-x_})\longrightarrow\\
&(x_-x_)\cdots (x_-x_})(x_-x_})\cdots (x_-x_})\end\]
於是，將多項式除以這個取值，就得到乙個滿足「在\(x_\)取值為\(1\)，而在其他點取值都是\(0\)的多項式」：
\(\ell _(x):=\prod _}^}}-x_}}=)}-x_)}}\cdots })}-x_})}}})}-x_})}}\cdots })}-x_})}}\)
這就是拉格朗日基本多項式
用此公式能優化成\(o(n^2)\)：
\(f(x) = \sum\limits_^^{}}^{}}}\)
乙個關於\(x\)的\(n\)次多項式，當已經知道\(f(x),x\in [0,n]\)的值時，有乙個特殊公式：
\[f(x)=\sum_^n(-1)^f(i)\frac
\]
拉格朗日反演
拉格朗日反演是求關於函式方程的冪級數展開係數非常重要的工具，可以用於組合計數函式的係數提取。對任意域 f 我們定義其上的形式冪級數為 f x a 0 a1 x anxn a i f.記所有的形式冪級數為f x 從交換代數的觀點來說f x 實際上是多項式環f x 在理想 x 處的完備化。容易看到f x...
拉格朗日反演
1.冪級數的復合 對於冪級數 f x 和 g x 我們稱 f g x 為冪級數f和g的復合 2.復合逆 如果 f x 和 g x 滿足 f g x g f x x 則稱它們互為復合逆 3.拉格朗日反演 如果 f x 和 g x 互為復合逆，則有 x n g x frac1n x frac n 可以通...
拉格朗日插值
拉格朗日插值基函式 li x x x 0 x xi 1 x xi 1 x x n x i x0 xi xi 1 xi xi 1 xi xn 拉格朗日差值函式 ln x i 0 nyil i x 其中，x為缺失值對應的下表序號，ln x 為缺失值的插值結果，xi 為缺失值yi 的下表序號。對全部缺失值...