一，介紹
學過fft的人都應該知道什麼叫做插值，插值的意思就是說將乙個多項式從點值表達轉變成係數表達。
在fft的插值中為什麼可以做到n log n，是因為單位複數根的關係。
那對於普通的插值應該怎麼辦呢？解方程是一種方法，但是這個在計算機中十分不現實。
所以有許多種插值的方法，其中比較普及的就是拉格朗日插值。
二，定義
對某個多項式函式，已知有給定的k + 1個取值點：
其中對應著自變數的位置，而
對應著函式在這個位置的取值。
假設任意兩個不同的x
j都互不相同，那麼應用拉格朗日插值公式所得到的拉格朗日插值多項式為：
其中每個
為拉格朗日基本多項式（或稱插值基函式），其表示式為：
[3]拉格朗日基本多項式
的特點是在
上取值為1，在其它的點
上取值為0。
三，例子
假設有某個二次多項式函式
，已知它在三個點上的取值為：
要求的值。首先寫出每個拉格朗日基本多項式：
然後應用拉格朗日插值法，就可以得到
的表示式（
為函式的插值函式）：
此時代入數值
就可以求出所需之值：
。四，證明唯一性
就是說n+1個點對應的n次多項式只有乙個，這個需要證明，但是一般都會直接當成結論，所以不需要去記憶。
五，優點和缺點
拉格朗日插值法的公式結構整齊緊湊，在理論分析中十分方便，然而在計算中，當插值點增加或減少乙個時，所對應的基本多項式就需要全部重新計算，
於是整個公式都會變化，非常繁瑣[5]。這時可以用重心拉格朗日插值法或牛頓插值法來代替。此外，當插值點比較多的時候，拉格朗日插值多項式的次數
可能會很高，因此具有數值不穩定的特點，也就是說儘管在已知的幾個點取到給定的數值，但在附近卻會和「實際上」的值之間有很大的偏差（如右下圖）[6]。
這類現象也被稱為龍格現象，解決的辦法是分段用較低次數的插值多項式。
拉格朗日插值
拉格朗日插值基函式 li x x x 0 x xi 1 x xi 1 x x n x i x0 xi xi 1 xi xi 1 xi xn 拉格朗日差值函式 ln x i 0 nyil i x 其中，x為缺失值對應的下表序號，ln x 為缺失值的插值結果，xi 為缺失值yi 的下表序號。對全部缺失值...
拉格朗日插值
function s larg1 x,y,xi m length x 求出插值節點向量長度 n length y if m n error 向量x與y的長度必須一致 這裡肯定一致，只是為了消除直接選取x,y資料的時候出錯而設定的 end s 0 for i 1 n z ones 1,length x...
拉格朗日插值
存在性和唯一性的證明以後再補。拉格朗日插值，emmmm，名字挺高階的 joy 它有什麼應用呢？我們在fft中講到過 設 n 1 次多項式為 y sum a i x i 有乙個顯然的結論 如果給定 n 個互不相同的點 x,y 則該 n 1 次多項式被唯一確定 那麼如果給定了這互不相同的 n 個點，利用...