給你\(n\)個點：\((x_1,y_1),(x_2,y_2),\ldots,(x_n,y_n)\)，求經過這\(n\)個點的\(n-1\)次多項式\(l(x)\)
直接高斯消元是\(o(n^3)\)的。
\[l(x)=\sum_^ny_i\prod_^n\frac=\sum_^ny_i\frac\cdots\frac}}\frac}}\cdots\frac
\] 設\(a(x)=\prod_^n(x-x_i),b_i(x)=\frac,c_i(x)=\frac\)
可以看出
\[c_i(x)=\frac\cdots\frac}}\frac}}\cdots\frac=\begin 1~~~~(x=x_i)\\0~~~~(x=x_j,j\neq i)\end
\] 因為當\(x=x_i\)時每一項的分子都等於分母，當\(x=x_j(j\neq i)\)時有一項的分子為\(0\)。
那麼
\[l(x)=\sum_^n y_ic_i(x)
\] 這樣就可以\(o(n^2)\)算出來了。
\(t\)個點，插出\(t-1\)次多項式。
void solve()
for(i=1;i<=t;i++)
ll s=0,px=1;
for(j=0;j<=t;j++)
s=fp(s,p-2)*y[i]%p;
for(j=0;j<=t;j++)
b[j]=b[j]*s%p;
for(j=0;j<=t;j++)
ans[j]=(ans[j]+b[j])%p;
}}
void solve()
ans=(ans+y[i]*s1%p*fp(s2,p-2)%p)%p;
}}
拉格朗日插值
拉格朗日插值基函式 li x x x 0 x xi 1 x xi 1 x x n x i x0 xi xi 1 xi xi 1 xi xn 拉格朗日差值函式 ln x i 0 nyil i x 其中，x為缺失值對應的下表序號，ln x 為缺失值的插值結果，xi 為缺失值yi 的下表序號。對全部缺失值...
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存在性和唯一性的證明以後再補。拉格朗日插值，emmmm，名字挺高階的 joy 它有什麼應用呢？我們在fft中講到過 設 n 1 次多項式為 y sum a i x i 有乙個顯然的結論 如果給定 n 個互不相同的點 x,y 則該 n 1 次多項式被唯一確定 那麼如果給定了這互不相同的 n 個點，利用...