1.冪級數的復合
對於冪級數\(f(x)\)和\(g(x)\)，我們稱\(f(g(x))\)為冪級數f和g的復合
2.復合逆：
如果\(f(x)\)和\(g(x)\)滿足\(f(g(x))=g(f(x))=x\)則稱它們互為復合逆
3.拉格朗日反演：
如果\(f(x)\)和\(g(x)\)互為復合逆，則有\([x^n]g(x)=\frac1n[x^](\frac)^n\)
可以通過這個在\(o(n\log n)\)(多項式exp和ln求快速冪，巨大常數)或\(o(n\log^2n)\)(倍增快速冪，小常數)來求復合逆的某一項（如果求整個復合逆的最優複雜度為\(o(n^2)\)的大步小步思想）
一下為多項式倍增快速冪取模和拉格朗日反演的板子，可以配合ghj1222的多項式板子食用
void poly_qpow(int *a, int len, int n)
for (int i = 0; i < len * 2; i++) tmp[i] = tmp[i] * (long long)tmp[i] % p;
ntt(tmp, len * 2, -1);
for (int i = len; i < len * 2; i++) tmp[i] = 0;
n >>= 1;
} delete tmp;
}int lagrange_inversion(int *aa, int len, int n)
拉格朗日反演
拉格朗日反演是求關於函式方程的冪級數展開係數非常重要的工具，可以用於組合計數函式的係數提取。對任意域 f 我們定義其上的形式冪級數為 f x a 0 a1 x anxn a i f.記所有的形式冪級數為f x 從交換代數的觀點來說f x 實際上是多項式環f x 在理想 x 處的完備化。容易看到f x...
拉格朗日插值與拉格朗日反演
模板 拉格朗日插值 拉格朗日插值法 f x sum limits 我們先把右邊那部分提出來看 ell x prod x x cdots x x cdots x 舉個例子吧 有二次函式上的三點 f 4 10,f 5 5.25,f 6 1 求 f 18 求出三個基本式 ell x ell x ell x...
學習筆記 拉格朗日反演
我真的是吐了，最近學什麼都學不懂。這個東西還是 tt oneindark 去翻 搞懂的，我只能拾人牙慧了。對於原函式 y f x 我們想求乙個反向對映 g y x 也就是滿足下列的關係式 g f x x 但是這個反演是有限制的，f,g 只能含有 x 的正整數次冪，在下面的推導中我會告訴你為什麼。用 ...