八省聯考2018 林克卡特樹

題目描述

小l 最近沉迷於塞爾達傳說：荒野之息（the legend of zelda: breath of the wild）無法自拔，他尤其喜歡遊戲中的迷你挑戰。

遊戲中有乙個叫做「lct」的挑戰，它的規則是這樣子的：現在有乙個n 個點的樹（tree），每條邊有乙個整數邊權vi ，若vi >= 0，表示走這條邊會獲得vi 的收益；若vi < 0 ，則表示走這條邊需要支付- vi 的過路費。小l 需要控制主角link 切掉（cut）樹上的恰好k 條邊，然後再連線 k 條邊權為 0 的邊，得到一棵新的樹。接著，他會選擇樹上的兩個點p; q ，並沿著樹上連線這兩點的簡單路徑從p 走到q ，並為經過的每條邊支付過路費/ 獲取相應收益。

海拉魯大陸之神temporarydo 想考驗一下link。他告訴link，如果link 能切掉合適的邊、選擇合適的路徑從而使總收益 - 總過路費最大化的話，就把傳說中的大師之劍送給他。

小 l 想得到大師之劍，於是他找到了你來幫忙，請你告訴他，link 能得到的總收益 - 總過路費最大是多少。

題解

先考慮斷掉k條邊又連上k條邊這個問題，因為最後我們只需要選取最終的樹上的一條鏈，所以我們連上這k條邊相當於是把這條鏈分成k+1段。

所以我們需要找到樹上相互無交的嚴格的k+1條鏈(根據題目描述，乙個點也可以算做一條鏈)。

為什麼要嚴格k+1段呢？因為這k+1段之間不能有交，所以必然會空出k條沒有被選的邊，正好可以留給我們斷邊用。

好了，題目大概分析要這裡，然後dp鏈的問題有乙個經典做法就是揹包，因為不能有交，所以每個點只可能有三種狀態012，表示這個點向下的邊中有幾條被選了，dp時討論一下。

#include#include
#include
#define n 300002
#define m 103
using
namespace
std;
typedef 
long
long
ll;ll dp[n][m][3];
inttot,head[n],n,k;
inline ll rd()
while(isdigit(c))
return f?-x:x; 
} struct edgee[n<<1
];inline 
void add(int u,int v,ll l)
inline ll mx(ll x,ll y,ll z)
void dfs(int u,int
fa) }
}}int
main()
dfs(
1,0);
cout
<1][k+1][2],max(dp[1][k+1][0],dp[1][k+1][1
]));
return0;
}

view code

因為有負邊權的存在，隨著k的增加，答案不一定是嚴格單調遞增的。

但是我們可以發現，答案是乙個上凸函式。

解決這種問題一般的操作是帶權二分。

在這道題中，我們二分乙個權mid，代表每選擇一條鏈都要付出-mid的代價。

然後按照上面的方法直接按照權值大小貪心的做o(n)的dp。

然後看看最優解選沒選夠k+1條鏈，夠了就加大mid，否則減小mid。

#include#include
#include
#include
#define n 300002
#define m 103
#define inf 1e18
using
namespace
std;
typedef 
long
long
ll;int
tot,head[n],n,k;
ll sum,mid,ans;
inline ll rd()
while(isdigit(c))
return f?-x:x; 
} struct edgee[n<<1
];inline 
void add(int u,int v,ll l)
struct
node
node 
operator +(const node &b)const
; }
node 
operator +(const ll &b)const
; }
}dp[n][3];
void dfs(int u,int
fa);dp[u][0]=node;dp[u][1]=node;
for(int i=head[u];i;i=e[i].n)if(e[i].to!=fa));
dp[u][
1]=max(dp[u][1]+dp[v][0],dp[u][0]+dp[v][1]+e[i].l);
dp[u][
0]=dp[u][0]+dp[v][0
]; }
dp[u][
0]=max(dp[u][0],max(dp[u][1]+node,dp[u][2
]));
}int
main()
ll l=-sum,r=sum;
while(l<=r)
mid=ans;
dfs(
1,0);
cout
<1][0].val+ans*k;
return0;
}

view code

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