最大子段和問題及其推廣

實在是太頹廢了，所以開始寫點東西吧。。。。

最大子段和：給定n個數（可能為負整數）組成的序列a1...an,求該序列形如∑ak(i<=k<=j)的子段和的最大值。當所有整數均為負整數時定義其最大的子段和為0.

依據題意我們可以確定最優值為max(0,max∑ak(i<=i<=j<=n)); 若我們令b[j] = max∑ak(1<=i<=j)是從序列a的第i個數到第j個數的最大和,那麼我們最後的答案就是找出b陣列裡面記錄的最大的那個值就是答案。由b[j]的定義可以知道b[j-1]>0時，b[j] = b[j-1]+a[j]否則b[j] = a[j];由此得出遞推式b[j] = max(b[j-1]+a[j],a[j]) （1<=j<=n）

**如下

1
int maxsum1(int n,int *a)29
return
sum;
10 }

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最大子段和的推廣

（1）最大子矩陣：給定乙個m行n列的整數矩陣a，求其元素和最大的子矩陣

很明顯最大子矩陣和的問題是最大子段和的問題向二維的推廣，我們用陣列a[1:m][1:n]表示給定的矩陣a 其子陣列a[i1:i2][j1:j2]表示左上角和右下角的行列座標分別為（i1,j1）(i2,j2)的子矩陣其個各個元素之和記為 s（i1,i2,j1,j2）= ∑∑a[i][j] (i1<=i<=i2,j1<=j<=j2) 那麼ans = max s(i1,i2,j1,j2) （1<=i1<=i2<=m,1<=j1<=j2<=n）

我們可以令t(i1,i2) = maxs(i1,i2,j1,j2)(i<=j1<=j2<=n) = max∑∑a[i][j] 同樣我們令b[j] = ∑a[i][j](i1<=i<=i2) 於是 t(i1,i2) = max∑b[j](1<=j1<=j2<=n) 這又回到了一維的情況於是我們可以得到如下**

1
int maxsum2(int m,int n,int a[105][105
] )212}
13return
sum ;
14 }

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最大子矩陣在poj上面有原題目題號是1050 **如下

#include #include 
#include 
using
namespace
std;
const
int m = 105
;int
a[m][m];
int maxsum1(int n,int *a)
return
sum;
}int maxsum2(int m,int n,int a[105][105
] ) }
return
sum ;
}int
main()
printf(
"%d\n
",maxsum2(n,n,a));
return0;
}

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2 最大m子段和

最大子段和是最大m子段和的特殊情況即m = 1時的解，我們用b(i,j)表示陣列a的前j項中i個子段和的最大值那麼很容易得到如下狀態轉移方程 b(i,j) = max(b(i,j-1),max(b(i-1,t))+a[j] 第乙個狀態表示第i個子段包含a[j],而第二個狀態表示第i個子段只包含a[j] 於是很容易得到如下**

1
intmaxsum()211
12}13else
14 b[i][j] = b[i-1][j-1] +a[j];
1516}17
}18int sum = 0;19
for(int j=m;j<=n;j++)
22return
sum ;
23 }

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上述演算法顯然需要o（mn^2）但是我們注意到對b[i][j] 只用到了第i-1行和第i行因此只要記錄這兩個值就可以，另一方面max(b(i-1,t))的值可以在計算第i-1行是預先計算出來

於是得到優化後的**如下

int
dp()
c[i+n-m] =tmp;
}printf(
"%d\n
",c[n]);
}

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最大m子段和問題在杭電oj上有原題題號是1024

ac**如下

#include #include 
#include 
using
namespace
std;
const
int m = 1000005
;int
n,m;
inta[m];
intb[m],c[m];
intdp()
c[i+n-m] =tmp;
}printf(
"%d\n
",c[n]);
}int
main ()
return0;
}

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最大子段和問題及其推廣

最大子段和問題

最大子段和問題

最大子段和問題

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