五大常用演算法之一 分治演算法

2022-08-21 01:21:15 字數 2576 閱讀 2246

一、基本概念

在電腦科學中,分治法是一種很重要的演算法。字面上的解釋是「分而治之」,就是把乙個複雜的問題分成兩個或更多的相同或相似的子問題,再把子問題分成更小的子問題……直到最後子問題可以簡單的直接求解,原問題的解即子問題的解的合併。這個技巧是很多高效演算法的基礎,如排序演算法(快速排序,歸併排序),傅利葉變換(快速傅利葉變換)……

任何乙個可以用計算機求解的問題所需的計算時間都與其規模有關。問題的規模越小,越容易直接求解,解題所需的計算時間也越少。例如,對於n個元素的排序問題,當n=1時,不需任何計算。n=2時,只要作一次比較即可排好序。n=3時只要作3次比較即可,…。而當n較大時,問題就不那麼容易處理了。要想直接解決乙個規模較大的問題,有時是相當困難的。

二、基本思想及策略

分治法的設計思想是:將乙個難以直接解決的大問題,分割成一些規模較小的相同問題,以便各個擊破,分而治之。

分治策略是:對於乙個規模為n的問題,若該問題可以容易地解決(比如說規模n較小)則直接解決,否則將其分解為k個規模較小的子問題,這些子問題互相獨立且與原問題形式相同,遞迴地解這些子問題,然後將各子問題的解合併得到原問題的解。這種演算法設計策略叫做分治法。

如果原問題可分割成k個子問題,1三、分治法適用的情況

分治法所能解決的問題一般具有以下幾個特徵:

1) 該問題的規模縮小到一定的程度就可以容易地解決

2) 該問題可以分解為若干個規模較小的相同問題,即該問題具有最優子結構性質。

3) 利用該問題分解出的子問題的解可以合併為該問題的解;

4) 該問題所分解出的各個子問題是相互獨立的,即子問題之間不包含公共的子子問題。

第一條特徵是絕大多數問題都可以滿足的,因為問題的計算複雜性一般是隨著問題規模的增加而增加;

第二條特徵是應用分治法的前提它也是大多數問題可以滿足的,此特徵反映了遞迴思想的應用;、

第三條特徵是關鍵,能否利用分治法完全取決於問題是否具有第三條特徵,如果具備了第一條和第二條特徵,而不具備第三條特徵,則可以考慮用貪心法或動態規劃法

第四條特徵涉及到分治法的效率,如果各子問題是不獨立的則分治法要做許多不必要的工作,重複地解公共的子問題,此時雖然可用分治法,但一般用動態規劃法較好

四、分治法的基本步驟

分治法在每一層遞迴上都有三個步驟:

step1 分解:將原問題分解為若干個規模較小,相互獨立,與原問題形式相同的子問題;

step2 解決:若子問題規模較小而容易被解決則直接解,否則遞迴地解各個子問題

step3 合併:將各個子問題的解合併為原問題的解。

它的一般的演算法設計模式如下:

divide-and-conquer(p)

1. if |p|≤n0

2. then return(adhoc(p))

3. 將p分解為較小的子問題 p1 ,p2 ,...,pk

4. for i←1 to k

5. do yi ← divide-and-conquer(pi) △ 遞迴解決pi

6. t ← merge(y1,y2,...,yk) △ 合併子問題

7. return(t)

其中|p|表示問題p的規模;n0為一閾值,表示當問題p的規模不超過n0時,問題已容易直接解出,不必再繼續分解。adhoc(p)是該分治法中的基本子演算法,用於直接解小規模的問題p。因此,當p的規模不超過n0時直接用演算法adhoc(p)求解。演算法merge(y1,y2,...,yk)是該分治法中的合併子演算法,用於將p的子問題p1 ,p2 ,...,pk的相應的解y1,y2,...,yk合併為p的解。

五、分治法的複雜性分析

乙個分治法將規模為n的問題分成k個規模為n/m的子問題去解。設分解閥值n0=1,且adhoc解規模為1的問題耗費1個單位時間。再設將原問題分解為k個子問題以及用merge將k個子問題的解合併為原問題的解需用f(n)個單位時間。用t(n)表示該分治法解規模為|p|=n的問題所需的計算時間,則有:

t(n)= k t(n/m)+f(n)

通過迭代法求得方程的解:

六、可使用分治法求解的一些經典問題

(1)二分搜尋

(2)大整數乘法

(3)strassen矩陣乘法

(4)棋盤覆蓋

(5)合併排序

(6)快速排序

(7)線性時間選擇

(8)最接近點對問題

(9)迴圈賽日程表

(10)漢諾塔

七、依據分治法設計程式時的思維過程

實際上就是類似於數學歸納法,找到解決本問題的求解方程公式,然後根據方程公式設計遞迴程式。

1、一定是先找到最小問題規模時的求解方法

2、然後考慮隨著問題規模增大時的求解方法

3、找到求解的遞迴函式式後(各種規模或因子),設計遞迴程式即可。

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