演算法 樹狀陣列

要學樹狀陣列的先看懂一幅圖

這就是樹狀陣列的儲存方式。

那麼樹狀陣列的優點是什麼呢，允許任意修改，可快速提取出a陣列內數字

據圖可知

c1=a1，

c2=a1+a2，

c3=a3，

c4=a1+a2+a3+a4，

c5=a5，

c6=a5+a6，

c7=a7，

c8=a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8，

c9=a9，

c10=a9+a10，

c11=a11.......

.c16=a1+a2+a3+a4+a5+.......+a16。

分析上面的幾組式子可知，當 i 為奇數時，ci=ai ；當 i 為偶數時，就要看 i 的因子中最多有二的多少次冪，例如，6 的因子中有 2 的一次冪，等於 2 ，所以 c6=a5+a6（由六向前數兩個數的和），4 的因子中有 2 的兩次冪，等於 4 ，所以 c4=a1+a2+a3+a4（由四向前數四個數的和）。

（一）因此得到公式    cn=a(n-a^k+1)+.........+an（其中 k 為 n 的二進位制表示中從右往左數的 0 的個數）。

那麼，如何求 a^k 呢？求法如下：

1int lowbit(intx)2

為啥那？

以68為例，他的二進位制是（68）2=1000100. 那麼-68呢？因為計算機裡的整數採用補碼表示（補碼是原碼取反加一），因此-68實際上是68按位取反，末尾加一以後的結果。如下表（忽略符號位）：

原碼   1 0 0 0 1 0 0

↓反碼   0 1 1 1 0 1 1

↓補碼   0 1 1 1 1 0 0

我們把（68）2和（-68）2放在一起看一看：

1 0 0 0 1 0 0

0 1 1 1 1 0 0

發現他們末尾帶的0是一樣多的。因此lowbit(x)=x&-x.   （&是轉換成二進位制之後進行與運算；而&&是直接進行與運算）

（二）由此，我們就可以求出c陣列了

1

int sum(intx)2
9 }

1

void change(int i,intx)2
8 }

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