樹狀陣列 演算法高階專題

lowbit (i):i&-i 

9  and  -1

1

c[5]=a[5]+a[6]; 2(1) 

2、求前n個元素的和，n的二進位制的

最後乙個1減

去。如：n=7;111

à110(6)->100(4)->0

i=i-lowbit(i)

c[7]=a[4]+a[6]+a[7]

c[8]= 1

c[i]=c[i]+c[i-2(k)]

k

-

c[7]=c[7]

--

c=6   k=1  c=6-2(1)=4

c[7]=c[7]+c[6]

--

c=4.k=2; c=4-2(2)=0

c[7]=c[7]+c[6]+c[4]

c=13

c[13]=1101c[1100=12]=c[1000=8]=c[0]

c[13]=c[13]+c[12]+c[8]

3

i=i+2(k)  

如：i=15  a[15]  1111 c[i]=15+2(0)=15+1=16

4

重複直到i等於0

i=7 

sum=0+c[7]  i=7-2(0)=6 sum=c[7]+c[6]+c[4]  i=6-2(1)=4   4=4-2(2)=0

a[2]

樹 狀 數 組

1

//

2

//

1

、概述

樹狀陣列(binary indexed tree)，是一種設計新穎的陣列結構，它能夠高效地獲取陣列中連續n個數的和。概括說，樹狀陣列通常用於解決以下問題：陣列中的元素可能不斷地被修改，怎樣才能快速地獲取連續幾個數的和？

2

、樹狀陣列基本操作

傳統陣列(共n個元素)的元素修改和連續元素求和的複雜度分別為o(1)和o(n)。樹狀陣列通過將線性結構轉換成偽樹狀結構（線性結構只能逐個掃瞄元素，而樹狀結構可以實現跳躍式掃瞄），使得修改和求和複雜度均為o(lgn)，大大提高了整體效率。

給定序列（數列）a，我們設乙個陣列c滿足

c[i] = a[i–2^k+ 1] + … + a[i]

其中，k為i在二進位制下末尾0的個數，i從1開始算！

則我們稱c為樹狀陣列。

下面的問題是，給定i，如何求2^k?

答案很簡單：2^k=i&(i^(i-1)) ，也就是i&(-i)

下面進行解釋：

以i=6為例（注意：a_x表示數字a是x進製表示形式）：

(i)_10 = (0110)_2

(i-1)_10=(0101)_2

i xor (i-1) =(0011)_2

i and (i xor (i-1))  =(0010)_2

2^k = 2

c[6] = c[6-2+1]+…+a[6]=a[5]+a[6]

陣列c的具體含義如下圖所示：

當我們修改a[i]的值時，可以從c[i]往根節點一路上溯，調整這條路上的所有c即可，

i=i-2(i)  

i=i+2(i)

表示把未尾1補0的過程如：i=4;

a[4] 

à10000  c[i]  i=i+lowbit(i)(2k) 

àlowbit(i)=i&i^(i-1)=i&(-i)=2(k)

a[5]

ài=5 101  i=5+1=6   110 ->i=6+2=8   1000->i=

i=13 

加2(0)=14  +2(1)=16

a[7]

被修改：i=7 111  i=i+2(0)=7+1=8  1000    i=i+2(3)=16

這個操作的複雜度在最壞情況下就是樹的高度即o(logn)。另外，對於求數列的前n項和，只需找到n以前的所有最大子樹，把其根節點的c加起來即可。不難發現，這些子樹的數目是n在二進位制時1的個數，或者說是把n展開成2的冪方和時的項數,因此，求和操作的複雜度也是o(logn)。

樹狀陣列能快速求任意區間的和：a[i] + a[i+1] + … + a[j]，設sum(k) = a[1]+a[2]+…+a[k]，則a[i] + a[i+1] + … + a[j] = sum(j)-sum(i-1)。

下面給出樹狀陣列的c語言實現： 1

2345

6789

1011

1213

1415

1617

1819

2021

//求2^k

int lowbit(int t)

//求前n項和

int sum(int end)

return sum;

//增加某個元素的大小

void plus(int pos, int num)

}3

、擴充套件——二維樹狀陣列

一維樹狀陣列很容易擴充套件到二維，二維樹狀陣列如下所示：

c[x][y] = sum(a[i][j])

其中，x-lowbit[x]+1 <= i<=x且y-lowbit[y]+1 <= j <=y

（2）二維樹狀陣列：

乙個由數字構成的大矩陣，能進行兩種操作

1) 對矩陣裡的某個數加上乙個整數（可正可負）

2) 查詢某個子矩陣裡所有數字的和

要求對每次查詢，輸出結果

5

、總結

樹狀陣列最初是在設計壓縮演算法時發現的（見參考資料1），現在也會經常用語維護子串行和。它與線段樹（具體見：資料結構之線段樹

）比較在思想上類似，比線段樹節省空間且程式設計複雜度低，但使用範圍比線段樹小（如查詢每個區間最小值問題）。

c++源程式l

#include

#include

using namespace std;

ifstream in("樹狀陣列.in");

ofstream out("樹狀陣列.out");

#define max 16

int n,a[max],c[max],m;

int lowbit(int i)

void genxin(int i,int x)

}int getsum(int i)

return sum;

}void init()  }

void print()

{cout<<"原陣列為："; 

for(int i=1;i<=n;i++)

cout<>m;

cout<

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