演算法總結樹狀陣列

「樹狀陣列的題線段樹都能做。那我們為什麼要學習樹狀陣列，直接用線段樹搞不就好了。zz，既然用短小而精悍的樹狀陣列能搞，還用100多行的線段樹？」

以上為qbxt某位神牛一人飾兩角傾情演繹。

蒟蒻在臨近noip之時終於搞懂了樹狀陣列，在此做一下總結，算是鞏固？

類似線段樹，我們可以分三種模板

1、單點修改，區間求和

2、區間修改，單點查詢

3、區間修改，區間求和

樸素演算法是直接在陣列上更改，1的複雜度是o(n+m*l)，2複雜度是o(n*l+m)，3的複雜度是o(n*l+m*l)(n為修改次數，m為查詢次數，l為陣列長度)，複雜度是非常高的，範圍稍微大一點就無法承受了，這時候就可以想到樹狀陣列了，樹狀陣列的複雜度是(m+n)*logl的，複雜度中的log是怎麼來的呢....

說到樹狀陣列，下面這個圖是必不可少的（圖是我盜的....）

這個c陣列就是樹狀陣列，觀察一下可以發現：

c[1]=a[1],

c[2]=a[1]+a[2]=c[1]+a[2],

c[3]=a[3],

c[4]=a[1]+a[2]+a[3]+a[4]=c[2]+c[3]+a[4],

c[5]=a[5],

c[6]=a[5]+a[6],

c[7]=a[7],

c[8]=a[1]+a[2]+a[3]+a[4]+a[5]+a[6]+a[7]+a[8],

有什麼規律，c陣列又a陣列的那幾個組成，把c陣列下標轉為二進位制：

1-->00000001

2-->00000010

3-->00000011

4-->00000100

5-->00000101

6-->00000110

7-->00000111

8-->00001000

假設c[i]中的i的二進位制中末尾0的個數為x（比如說：6,6的二進位制中末尾有1個0，x=1）,c[i]=a[i]+a[i-1]+…+a[i-2^x+1]（c[6]=a[6]+a[5]），這時我們就要用到乙個很重要的函式，lowbit（int x）用來求2^x,，這2^x個元素是從後往前遞減的

int lowbit(int
x)

修改單點的元素時，只需要把該元素到根節點的路徑上的c改變就行了，查詢時也只需要從該路徑上查詢，由於樹的深度最多為logl（可以看成二叉樹），那麼複雜度就會降下很多，這就是開頭我們提到的log**了

修改c[i]也要將i所在路徑上的c全部修改，也就是持續向上找father，i的父親節點為i+lowbit(i)，

void add(int i,int
val)
}

求區間[a,b]的和，ans=sum(b)-sum(a-1),sum為從1到該點的a和

int sum(int
i) 
return
s;}

第一種情況就是這樣了，第二三種情況區間修改我們可以利用查分的思想，其他的都差不多........吧

1
//1、單點修改，區間查詢
2 #include3 #include4 #include5
using
namespace
std;
6int c[500010];7
intn,m;
8int lowbit(intx)9
12void add(int i,int
val)
1320}21
int sum(int
i)22
29return
s;30}31
intmain()
3245
return0;
46 }

小仙女

1 #include2 #include3 #include4
using
namespace
std;
5int c[500010];6
intn,m;
7int lowbit(intx)8
11void add(int i,int
val)
1219}20
int sum(int
i)21
28return
s;29}30
intmain()
3140
for(int i=1;i<=m;i++)
4150
if(p==2)51
55}56return0;
57 }

老司機

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