樹狀陣列是對乙個陣列改變某個元素和求和比較實用的資料結構。兩中操作都是o(logn)。
在解題過程中，我們有時需要維護乙個陣列的字首和s[i]=a[1]+a[2]+...+a[i]。
但是不難發現，如果我們修改了任意乙個a[i],s[i]、s[i+1]...s[n]都會發生變化。
可以說，每次修改a[i]後，調整字首和s在最壞情況下會需要o(n)的時間。當n非常大時，程式會執行得非常緩慢。
因此，這裡我們引入「樹狀陣列」，它的修改與求和都是o(logn)的，效率非常高。
【理論】
為了對樹狀陣列有個形象的認識，我們先看下面這張圖。
如圖所示，紅色矩形表示的陣列c就是樹狀陣列。
這裡，c[i]表示a[i-2^k+1]到a[i]的和，而k則是i在二進位制時末尾0的個數，或者說是i用2的冪方和表示時的最小指數。
（ 當然，利用位運算，我們可以直接計算出2^k=i&(i^(i-1)) ）
同時，我們也不難發現，這個k就是該節點在樹中的高度，因而這個樹的高度不會超過logn。
所以,當我們修改a[i]的值時，可以從c[i]往根節點一路上溯，調整這條路上的所有c即可，
這個操作的複雜度在最壞情況下就是樹的高度即o(logn)。
另外，對於求數列的前n項和，只需找到n以前的所有最大子樹，把其根節點的c加起來即可。
不難發現，這些子樹的數目是n在二進位制時1的個數，或者說是把n展開成2的冪方和時的項數,因此，求和操作的複雜度也是o(logn)。
樹狀陣列中用的c，每個點都有一定的管轄範圍；
如c[1]=a[1]; 1->0001 最後一位1代表的數字為1，所以是從a[1]向前（包括a[1])共乙個數字的和
c[2]=a[1]+a[2]; 2->0010 最後一位1代表的數字為2，所以是從a[2]向前共兩個數字的和
c[3]=a[3];
c[4]=a[1]+a[2]+a[3]+a[4];
等等；接著，我們考察這兩種操作下標變化的規律：
首先看修改操作：
已知下標i，求其父節點的下標。
我們可以考慮對樹從邏輯上轉化：
如圖，我們將子樹向右對稱翻摺，虛擬出一些空白結點（圖中白色），將原樹轉化成完全二叉樹。
有圖可知，對於節點i，其父節點的下標與翻摺出的空白節點下標相同。
因而父節點下標 p=i+2^k (2^k是i用2的冪方和展開式中的最小冪，即i為根節點子樹的規模)
即 p = i + i&(i^(i-1)) 。
接著對於求和操作：
因為每棵子樹覆蓋的範圍都是2的冪，所以我們要求子樹i的前一棵樹，只需讓i減去2的最小冪即可。
即 p = i - i&(i^(i-1)) 。
至此，我們已經比較詳細的分析了樹狀陣列的複雜度和原理。
在最後，我們將給出一些樹狀陣列的實現**，希望讀者能夠仔細體會其中的細節。
【**】
求最小冪2^k:
int lowbit(int t)
這個函式主要是用來求的是某個點管轄範圍；
如果是 t+=lowbit(t) 就是得到的該點的父節點的值；比如t=4時；就能得到8；
而 t-=lowbit(t) 的話，就是得到t這個點的管轄區間的下個區間的管轄點；
比如說，t=7,代入後6；不斷迴圈到0能依次得到 6.。。4.；
他們所有的管轄區間正好是1....7；
求前n項和：
int sum(int end)
return sum; }
這個函式就是求區間和了。。比如sum（7）的話，就是求a[1]+a[2]+...a[7]；求乙個一般區間的和如 sum( 4,9)可以化成 sum(9)- sum(3)來做。
對某個元素進行加法操作：
void plus(int pos , int num)
} 這個函式，是用來修改樹狀陣列的；
如果是一般的演算法只用修改改點就可；但是樹狀陣列必須修改所有改點被管轄的區間；
比如把a陣列的 a[2]減去1，（令n=16）；則所有2被管轄的點有4，8，16都應該減去1；
就是呼叫函式 update（2，-1）；
資料來自
和
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