矩陣連乘問題

【問題】

給定n個矩陣的鏈，其中ai與是ai-1可乘的，矩陣ai的維數為pi-1*pi（1≤i≤n），

如何確定計算矩陣鏈乘積a1a2…an的計算次序（完全括號化方式），使得依此次序計算矩陣鏈乘積需要的數乘次數最少。

【演算法分析】

將矩陣連乘積aiai-1...aj簡記為a[i:j] ，i≤j  。

考察計算a[i:j]的最優計算次序。設這個計算次序在矩陣ak和ak+1之間將矩陣鏈斷開，i≤k加括號方式為:

(aiai+1...ak)(ak+1ak

+2...aj

)計算量：a[i:k]的計算量加上a[k+1:j]的計算量，再加上a[i:k]和a[k+1:j]相乘的計算量。

特徵：計算a[i:j]的最優次序所包含的計算矩陣子鏈 a[i:k]和a[k+1:j]的次序也是最優的。

矩陣連乘計算次序問題的最優解包含著其子問題的最優解，這種性質稱為最優子結構性質。

遞迴式如下：

【源**】

**（1）

#include using

namespace
std;
void matrixchain(int p, int **m, int **s, int
n) }
}}//
找出s陣列中記錄的最優斷開點
void traceback(int i, int j, int **s)
cout 
<< "("
; traceback(i, s[i][j], s);
traceback(s[i][j] + 1
, j, s);
cout 
<< ")"
;}intmain() ;
int **m = new
int*[n+1
]; 
int **s = new
int*[n+1
]; 
for (int i = 0; i < n+1; i++)
matrixchain(p, m, s, n);
traceback(
1, n, s);
for (int i = 0; i < n+1; i++)
delete
m; 
delete
s; 
return0;
}

#include using

namespace
std;
void matrixchain(int p, int **m, int **s, int
n) }
}}//
找出s陣列中記錄的最優斷開點
void traceback(int i, int j, int **s)
cout 
<< "("
; traceback(i, s[i][j], s);
traceback(s[i][j] + 1
, j, s);
cout 
<< ")"
;}intmain() ;
int **m = new
int*[n];
int **s = new
int*[n];
for (int i = 0; i < n; i++)
matrixchain(p, m, s, n);
traceback(
0, n - 1
, s);
for (int i = 0; i < n; i++)
delete
m; 
delete
s; 
return0;
}

主要計算量取決於演算法中對r，i和k的3重迴圈。

演算法的計算時間上界為o(n3)。

演算法所占用的空間為o(n2)。

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