導數到底是什麼？
有一種說法是，導數就是函式的瞬時變化率。
但是這種說法有乙個悖論，變化需要乙個時間段讓變化發生。而瞬時，乙個時間點上也就沒有變化的餘地了。
我們還是從之前的小汽車的例子中探尋導數的意義。
我們讓一輛小汽車從靜止到加速，然後減速最後停止。
這個過程中，總共向前走了100公尺，用時10秒。
我們以用時為x軸，以汽車前進的距離為y軸，那麼汽車整個移動的過程可以得到如下圖形：
這個圖形中
前段速度較慢，曲線變化十分緩慢。
中段速度最快，曲線變化十分陡峭。
後段速度表面，曲線變化又十分緩慢了。
如果我們把汽車的速度變化曲線畫出來，那麼就會得到下圖：
距離的曲線，跟速度的曲線是有著相互的關係的。如果距離曲線發生變化了，速度曲線也會隨之產生相應的變化比如：
這個速度曲線到底代表了什麼呢？
速度的定義是一段時間內的位移變化，但是在我們的速度曲線中，只需要乙個x值，就能找到對應的速度。這不是很矛盾嗎？
讓我們用上一節中使用過的方法重新思考一下這個問題。
每隔很微小的時間取名為dt，比如0.01秒，測量在這微小時間內產生的微小位移ds。
那麼t時間的速度可以近似的看做ds/dt。
ds=s(t+dt)-s(t)
ds/dt=(s(t+dt)-s(t))/dt
當dt無限無限接近0時，這個比值的極限就是這個汽車位移函式的導數。
幸運的是，這個比值在影象的角度，這個比值的極限有個精妙的意義。
當我們為t和dt設定乙個具體的值的時候，我們很容易的發現，ds/dt就是影象上兩點的直線斜率。
當dt越近於0的時候，兩點的斜率就越接近影象位於t點的斜線的斜率。
所以導數在數學上的真正意義就是經過影象上的點時的斜率。
這樣就避開瞬時變化率這樣自相矛盾的定義了。
這裡的dt不是0，也不是無限接近於0。理解他為乙個很小的值，小到t與t+dt的直線斜率與t點上的切線斜率近似相等。
這個切線也不要看做函式在某一點上的瞬時變化率，而應該看作是某一點附近的變化率的最佳近似值。
在這個例子中，dt都有乙個明確的值（比如0.01），ds/dt也能通過分式求得乙個具體的值，這樣為了方便理解我們的推導我們的概念。
在數學的世界裡，當使用d這個字母的時候，就代表他的取值無限接近於0。而ds/dt也不是求乙個除法。而是當dt無限接近於0的時候，這個分式(ds/dt)的極限值。
現在我們假設時間與距離的函式正好是一元三次方函式y=x³
那麼該如何求導呢？
其實很簡單。
ds=(x+dx)³-x³
=x³+2x²dx+2xdx²+dx³-x³
=2x²dx+2xdx²+dx³
ds/dx=2x²+2xdx+dx²
當dx接近0時，ds/dx越來越接近於2x²
這是通過數學的方式證明求導公式，後面將講解用幾何的形式更加直觀的理解求導公式。
ds/dt也就是函式的求導，與函式之間有什麼關係呢？
還記得上一節的課程嗎？
我們通過求導得到的函式影象，函式線下的面積就是汽車走過的總距離。
可是在這裡我們已經知道了汽車走了100公尺了啊？
時刻牢記這些資訊，仔細把玩他們之間的微妙關係，後面的課程將逐漸深入**這些問題。
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