數值計算方法知識面涉及微積分，線性代數；運用程式設計的方法來解決關於數值計算的問題，其中重點討論如何最小化誤差，一些方程的數值解法，以及插值和擬合問題。其中的知識可以作為資料探勘的基礎。
執行》 5.1-5-0.1和》 1.5-1-0.5,給出執行結果，並簡要分析一下產生現象的原因
**：
>>x1=5.1-5-0.1
>>x1=
>>-3.608224830031759e-16
>>x2=1.5-1-0.5
>>x2=
>>0
浮點數表示時數字時位數有限，以雙精度浮點數為例，共64位。
對於5.1，符號位一位，指數字11，整數部分佔3位，小數部分0.1不能精確表示只能近似用49位表示。5.1-5-0.1，5被精確表示，0.1則用52位近似表示。故5.1中的小數部分0.1在計算機中比0.1小，最後結果為負。而x2=1.5-1-0.5中，所有的數都被精確表示了，故其結果為0.
設$i_n = \int_0^1 \frac dx$
(1) 從$i_0$盡可能精確的近似值出發，利用遞推式$i_n = -5i_ + \frac\ \ \ \ (n = 1, 2, 3, ... ,20)$,計算$i_$的近似值；
(2) 從$i_$較粗糙的估計值出發，利用遞推式$i_ = -\fraci_n + \frac\ \ \ \ (n = 20, 19, ... , 1)$計算$i_0$的近似值；
(3) 分析結果的可靠性以及出現這種現象的原因.
(一) 程式設計
1 演算法
$$i_n = -5i_ + \frac \ \ \ \ (n = 1, 2, 3, ... , 20)$$
2 說明事項
(二) 源程式
matlab:
function [ y ] = test1_1( n )
y=log(1.2);
for i=1:1:n
y=-5*y+1/i;
end
import math
def test1_1(n):
y = math.log(1.2, math.e)
for i in range(1, n+1, 1):
y = -5 * y + 1 / i
print("%e" % y)
if __name__ == "__main__":
test1_1(20)
>> test1_1(20)
>> ans =
4.242637044921560e-03
1 演算法
$$i_ = -\fraci_n + \frac \ \ \ \ (n = 20, 19, ... , 1)$$
2 說明事項
(二) 源程式
function [ y ] = test1_2
y=4.0e-03;
for i=20:-1:1;
y=y/(-5)+1/(5*i);
end
>> test1_2
>> ans =
1.823215567939546e-01
對於第乙個公式
$$i_n = -5i + \frac\ \ \ \ (n = 1, 2, 3, ... , 20)$$
分析其誤差傳遞
$$\varepsilon(i^_n) = |i_n - i^
n| = -5|i - i^_| = (-5)^ \varepsilon(i^
0)$$
20次之後其誤差驚人，其結果不可取
對於第二個公式
$$i = -\fraci_n + \frac \ \ \ \ (n = 20, 19, ... , 1)$$
分析其誤差傳遞
$$\varepsilon(i^) = |i - i^_| = -\frac|i_n - i^_n| = (-\frac)^ \varepsilon(i^_n)$$
20次之後誤差很小
用下列方法求方程$e^x + 10x - 2 = 0$的近似根，要求誤差不超過$\frac \times 10^-3$,並比較計算量
(1) 在區間[0, 1]上用二分法；
(2) 取初值$x_0 = 0$並用迭代過程$x_ = \frac}\ \ \ \ (k = 0, 1, 2, ...)$；
(3) 取初值$x_0 = 0$用牛頓法.
(一) 程式設計
1 演算法
二分法通過縮短短區間，一步步逼近方程的根
2 說明事項
此**只適用於本程式
(二) 源程式
function [ x ] = test2_1
a=0;
b=1;
i=1;
while 1
x=(a+b)/2;
fa=exp(a)+10*a-2;
fb=exp(b)+10*b-2;
fx=exp(x)+10*x-2;
if (abs(fa-fb)<1e-3);
break;
endif (fa*fx>0)
a=x;
else
b=x;
endi++;
endi
>>test2_1
>>i=1.50000000000000e+001
>>ans=9.05456542968750e-002
1 演算法
迭代公式$x_ = \frac}\ \ \ \ (k = 0, 1, 2, ...)$
(二) 源程式
function [ y ] = fun2_1( x )
y=x;
i=1;
while 1
y1=y;
y=0.1*(2-exp(y1));
if (abs(y-y1)<5e-4)
break;
endi++;
endi
>>test2_2(0)
>>i=4.00000000000000e+000
>>ans=9.05126166743651e-002
1 演算法
牛頓迭代公式$x_ = x_k - \frac$
2 說明事項
因為計算公式中有除法，必須對除數為0的情況作異常處理.
(二) 源程式
function [ y ] = fun2_3( x )
y=x;
i=1;
while 1
y1=y;
y=y1-(exp(y1)+10*y1-2)/(exp(y1)+10);
if (abs(y-y1)<5e-4)
break;
endi++;
endi
>>test2_3(0)
>>i=2.00000000000000e+000 %i為迭代次數
>>ans=9.05251085833896e-002 %ans為根
數值計算方法實驗
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