問題描述：given 2 sequences, x = x1,...,xm and y = y1,...,yn, find a common subsequence whose length is maximum. subsequence need not be consecutive, but must be in order.
程式思路：
使用遞迴的思路可以解決這個問題。設輸入的兩個子串為x[0…m - 1]和y[0…n - 1]，l(x[0…m - 1], y[0…n - 1])為x和y的最長公共子串長度。分兩種情況：
1. 若子串最後乙個字元匹配（即x[m – 1] == y[n – 1]），則
l(x[0…m - 1], y[0…n - 1])= 1 + l(x[0…m - 2], y[0…n - 2])
2. 若子串最後乙個字元不匹配（即x[m – 1] ！= y[n – 1]），則
l(x[0…m - 1], y[0…n - 1]) = max( l(x[0…m - 2], y[0…n - 1]), l(x[0…m - 1], y[0…n - 2]))
但是遞迴的情況下，很多子情況會重複計算多次，因此可以使用動態規劃來優化，這裡可以使用畫**的方法來記錄下子問題的解，供後面計算使用。這裡的**記錄最長公共子串的長度。
例如：」abcfgr」 和」ackwgr」的最長公共子串表為
右下角的值就是兩個子串的最長公共子串長度。
如果需要輸出兩個子串的最長公共子串，則需要額外的空間把每個字元存起來。步驟如下：
構造最長公共子串長度表l；
構造乙個長為l[m][n]的string s；
從l[m][n]這個位置開始遍歷l，直到m或者n為0，對於l中的每個元素l[i][j]，
a) 若x[i - 1] == y[j - 1]，即這個字元是最長公共子串的乙個字元，放在s的末尾，往左上方移動一格，即i – 1，j – 1，繼續遍歷。
b) 若不等，則在**左邊或者上方選擇乙個較大值，移動一格，即i – 1或者j – 1，繼續遍歷。
根據上面的例子，給出遍歷路徑：
所以」abcfgr」 和」ackwgr」的最長公共子串為」acgr」。
演算法偽**：
1演算法效能分析：這個演算法主要做的事情是，建立最長公共子串表，然後遍歷這個表。表的建立需要乙個乙個填寫表項，因此複雜度為o(mn)。//lcs演算法2//
輸入：子串x，子串y，x的長度m，y的長度n3//
輸出：最長公共子串
4lcs(x, y, m, n)
5begin
6 create l[m + 1][n + 1]7
for each i from
0 to m do
8for each j from
0 to n do
9if i == 0 or j == 0
10 l[i][j] = 0
11 else if x[i – 1] == y[j – 1
]12 l[i][j] = l[i – 1][j – 1] + 1
13else
14 l[i][j] = max(l[i – 1][j], l[i][j – 1
])15 create char
c[l[m][n]]
16 for l[m][n] to l[0][p] or l[q][0
]17 if x[i - 1] == y[j – 1
]18 push this
char
to c
19skip to left up
20else
21 skip to left or up which is
larger
22 end
補充一下，之前一直沒有考慮最長公共子串不唯一的問題。我們的演算法的確能夠找到乙個最長公共子串，但是如果要把所有的串輸出，在步驟二中必須分情況討論，把中間結果壓棧，具體細節有空再補充。
最長公共子串 最長公共子串 動態規劃
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最長公共子串（動態規劃）
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最長公共子串 動態規劃
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